Probabilités pour ingénieurs et pour presque tous les non mathématiciens (1.4)

Chapitre 1.- Quelques notions de base

1. Introduction
2. Définition de quelques termes reliés aux ensembles et aux probabilités
3. La probabilité d'un événement et sa détermination
4. L'espace échantillonnal fini et son dénombrement
5. Les probabilités conditionnelles
6. Les expériences statistiquement indépendantes et le événements indépendants
7. La partition de l'espace échantillonnal, la loi de probabilité totale et le théorème de Bayes
   
   ***********************************************
   

LEÇON 1.4 - Espace échantillonnal fini et son dénombrement

Dans cette quatrième leçon le lecteur commencera à se familiariser avec les notions suivantes:

1. Les diagrammes en arbre.
2. Le principe de multiplication.
3. Les pemutations.
4. Les combinaisons.
5. Les permutations d’objets semblables.
6. L'échantillonnage hypergéométrique.
   

1.4.1 Les diagrammes en arbre.

Le diagramme en arbre peut être utilisé pour faciliter le dénombrement de l’espace échantillonnal.

Par exemple, on lance en l’air à trois reprises une pièce de monnaie équilibrée. Il y a deux résultats possibles à chacun des trois lancers successifs. Le diagramme en arbre suivant montre les différents résultats possibles après trois lancers. Il permet de définir une fois pour toutes l’ensemble des résultats possibles en suivant chacun des trajets du diagramme en arbre.

Il y a un total de 2^3 = 8 résultats possibles.

L’espace échantillonnal s’écrit :
S = {PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF}


1.4.2 Le principe de multiplication.

On considère les ensembles A1, A2, …, Ak ayant pour nombres d’éléments (cardinaux):
n1, n2, … , nk.

On forme un k-tuplet : (xA1, xA2, …, xAk) dont chacune des coordonnées xAi
provient de chacun des ensembles Ai.

On forme l’ensemble produit cartésien B tel que :
B = A1 x A2 x … x Ak = {( xA1, xA2, …, xAk) : xA1 ε A1, xA2 ε A2, ..., xAk ε Ak }

Le cardinal de B est le nombre de façons différentes de choisir un k-tuplet.

Soit n(B) le cardinal de B. On a:

n(B) = n1 x n2 x … x nk

Si n1 = n2 = … = nk = n, alors : n(B) = n^k, c'est-à-dire n exposant k.


1.4.3 Les permutations.

Une permutation est un arrangement ordonné d’objets distincts.

On considère les permutations de n objets distincts pris r à la fois (r ≤ n). On note le nombre de permutations par Pn;r. On veut calculer Pn;r en fonction de n et de r.

Il y a n façons différentes de choisir sans remise le premier objet parmi les n objets distincts; ce premier objet étant choisi et retiré du lot, il reste alors (n-1) objets.

Il y a (n-1) façons de choisir le 2e objet sans remise; ce deuxième objet étant choisi et retiré du lot, il reste (n-2) objets.

On continue ainsi jusqu’au (r-1) ième objet. Et il reste à choisir le r ième objet.

Il y a (n-r+1) façons de choisir le r ième objet sans remise; il reste alors (n-r) objets.

En vertu du principe de multiplication, le nombre de permutations possibles de n objets pris r à la fois est donc :

Pn;r = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!


1.4.4 Les combinaisons.

Une combinaison est un arrangement d’objets distincts tels que :
• l’ordre n’a pas d’importance
• deux combinaisons sont différentes si leur contenu n’est pas le même.

On considère les combinaisons de n objets distincts pris r à la fois (r ≤ n). On note le nombre de combinaisons par Cn;r.

On veut trouver Cn;r en fonction de n et de r.

Soit A un ensemble de n éléments distincts.
Soit Bi l’un des sous-ensembles de A ayant r éléments distincts, i = 1, 2, …, Cn;r.

Bi ≠ Bj, si i ≠ j.
Cn;r = cardinal de {B1, B2, …, BCn;r }.

Le nombre de permutations des r éléments d’un seul sous-ensemble Bi est :
r(r-1)(r-2) … 2 . 1 = r!

Le nombre total de permutations des r éléments de tous les Cn,r sous-ensembles Bi est :

Pn;r = r! Cn;r

D’où :

Cn;r = n!/((n-r)!r!)


1.4.5 Les permutations d’objets semblables.

Soit A l’ensemble de n objets distincts répartis en k classes d’objets semblables (indiscernables).
On a :

A = A1 U A2 U … U Ak, les Ai sont 2 à 2 disjoints.
N = n1 + n2 + … + nk, ni = nombre d’éléments semblables (indiscernables) de Ai.

Le nombre total de permutations des n éléments de A, s’ils étaient tous discernables, serait :

Pn;n = n!

Si les ni éléments de Ai étaient discernables, le nombre de permutations de ces ni objets serait :

Pni;ni = ni!

Pni;ni est le nombre de fois que l’on trouve dans les Pn,n permutations, les ni objets indiscernables dans le «même» ordre puisqu’on est incapable de discerner les ni objets de Ai les uns des autres.

Donc Pni;ni est un facteur de Pn;n. Et cela est vrai pour chacun des Ai, i = 1, 2, …, k.

On peut alors décomposer Pn;n en facteurs et l’écrire sous la forme :

Pn;n = Pn1;n1 . Pn2;n2 . … . Pnk;nk . Q

où Q représente le nombre de permutations des n objets contenant k classes d’objets indiscernables.

On remplace Q par Pn; n1,n2,…,nk. D’où :

Pn; n1,n2,…nk = n!/(n1! n2! … nk!)


1.4.6 L'échantillonnage hypergéométrique.

On considère une population de taille N (un ensemble de N objets (unités)).

Des N unités, D unités appartiennent à une classe donnée, par exemple, D unités défectueuses.

On veut tire de la population de taille N, un échantillon (un sous-ensemble) de taille n, au hasard et sans remise.

On considère l’événement A : «l’échantillon de taille n choisi renferme exactement r éléments appartenant à la classe donnée (unités défectueuses)».

On veut trouver la probabilité de l’événement A, ce que l’on va faire ci-après.

Le nombre d’échantillons possibles (différents) de taille n que l’on peut tirer de la population de taille N est : Cn;n.

De ces Cn;n échantillons possibles, quel est le nombre de cas favorables à l’événement A ?

La réponse à cette question s’obtient de la façon suivante.

Le nombre de choix différents de (n-r) éléments tirés parmi les (N-D) unités n’appartenant pas à la classe donnée (unités non défectueuses) est : C(N-D); (n-r).

Le nombre de choix de r éléments différents tirés parmi les D unités appartenant à classe donnée (unités défectueuses) est : CD;r.

Par conséquent, le nombre d’échantillons différents de taille n contenant exactement r unités appartenant à la classe donnée (unités défectueuses) et (n-r) unités n’appartenant pas à cette classe (unités non défectueuses) est : (CD;r ) . (C(N-D); (n-r)). C’est le nombre de cas favorables à l’événement A.

On peut donc calculer la probabilité de l’événement A :

P(A) = (CD;r) . (C(N-D; (n-r) ) / CN;n

Dans cette relation, étant donné la valeur de n, alors r peut prendre l'une des valeurs suivantes: max {0, (n+D-N)}, …, min {n, D}.



Fin de la leçon 1.4


Références utilisées

1. Hines, William W., Montgomery, Douglas C., Goldsman, David M., Borror, Connie M. (2005) Probabilités et statistique pour ingénieurs, Les Éditions de la Chenelière, 597 p., traduction de Probability and statistics in engineering, Fourth Edition, Wiley 2003 des mêmes auteurs et du chapitre 7 de Introduction to Statistical Quality Control, Fourth Edition, Montgomery, Douglas C., Wiley 2001.


2. Rumsey, Deborah (2006) Probability for Dummies, Wiley, 358 p.


3. Moi-même.
   
   

Probabilités pour ingénieurs et pour presque tous les non mathématiciens (1.3)

Chapitre 1.- Quelques notions de base

1. Introduction
2. Définition de quelques termes reliés aux ensembles et aux probabilités
3. La probabilité d'un événement et sa détermination
4. L'espace échantillonnal fini et son dénombrement
5. Les probabilités conditionnelles
6. Les expériences statistiquement indépendantes et les événements indépendants
7. La partition de l'espace échantillonnal, la loi de probabilité totale et le théorème de Bayes
   
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LEÇON 1.3 - Les Probabilités et leur détermination

Dans cette troisième leçon le lecteur commencera à se familiariser avec la définition rigoureuse de la probabilité d'un événement, les propriétés de cette probabilité et quelques théorèmes utiles. Plus précisément, les points suivants seront étudiés:

1. Définition de la probabilité d’un événement.
2. Propriétés de la probabilité d’un événement.
3. Notion de fréquence relative d’un événement.
4. Un moyen de calculer la probabilité d’un événement.
5. Quelques théorèmes utiles.
   

Dans cette leçon S désignera l'espace échantillonnal associé à l'expérience aléatoire. Voir Leçon 1.2

1.3.1 Définition de la probabilité d’un événement.

On définit une probabilité comme une fonction dont le domaine est un ensemble d’événements et l’image est un ensemble de nombres réels compris entre 0 et 1.
Soit A un événement du domaine de la fonction. L’image que la fonction de probabilité associé à l’événement A que l’on notera P(A) est la probabilité de l’événement A.


Définition.-

Soit A un événement du domaine de la fonction. L’image que la fonction de probabilité associé à l’événement A que l’on notera P(A) est la probabilité de l’événement A.


1.3.2 Propriétés de la probabilité d’un événement.

Propriétés de P(.) :

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1, pour tout A de S.
2. P(S) = 1.
3. Pour tout nombre fini A1, A2, …, Ak, d’événements mutuellement exclusifs définis dans S, on a :
   P(A1 U A2 U … U Ak ) = ∑ P(Ai), i allant de 1 à k.
4. Pour une suite A1, A2, A3, … dénombrable d’événements mutuellement exclusifs définis dans S, on a :
   P(A1 U A2 U A3 U … ) = ∑ P(Ai), i entier allant de 1 à ∞.
   
   

1.3.3 La notion de fréquence relative d’un événement.

Pour illustrer la détermination des probabilités, on imagine la répétition d’une expérience et la fréquence relative de l’occurrence d’un événement particulier.
Soit une expérience aléatoire E répétée m fois et deux événements A et B. Soit mA et mB le nombre de répétitions de A et de B à l’intérieur de m répétitions.

Définition.-

Soient fA = mA/m et fB = mB/m les fréquences relatives des événements A et B. On a par exemple :

1. 0 ≤ fA ≤ 1.
2. fA = 0, si et seulement si l’événement A ne se produit jamais;
   fA = 1, si et seulement si l’événement A se produit à chaque répétition.
3. fA U B = fA + fB si les événements A et B sont mutuellement exclusifs.
   

Lorsque m devient élevé, fA tend à se stabiliser. La notion de fréquence relative et la tendance à la stabilisation de cette fréquence sont à la base d’une méthode permettant d’attribuer une probabilité à un événement.

Par exemple, soit E une expérience aléatoire d’espace échantillonnal S. Si fA, la fréquence relative d’un événement A tend vers une limite pA quand le nombre de répétitions augmente, on peut considérer pA comme la probabilité de A :

lorsque m → ∞, P(A) = lim (mA/m) = lim fA = pA (eq. 3.1)

En pratique, le nombre de répétitions est limité.


1.3.4 Un moyen de calculer la probabilité d’un événement.

On suppose que l’espace échantillonnal comporte un nombre fini n d’éléments ei et que la probabilité attribuée à un résultat est :
pi = P(Ei) avec Ei = {ei} ;
et
pi ≥ 0 , i = 1, 2, …, n;
p1 + p2 + … + pn = 1, ou ∑ pi = 1, i allant de 1 à k.
Alors :
P(A) = ∑ pi , i étant tel que ei ε A (eq. 3.2)

Si l’espace échantillonnal S n’est pas fini, mais comporte une infinité dénombrable d’éléments ei, alors :
pi ≥ 0 , i = 1, 2, … ; ∑ pi = 1, i entier allant de 1 à ∞.
Mais on a encore :
P(A) = ∑ pi, i étant tel que ei ε A (eq. 3.3)


Exemple C1.L3.1
Si l’espace échantillonnal S est fini et contient n résultats équiprobables tels que :
p1 = p2 = … = pn = 1/n
Et si l’événement A renferme n(A) résultats possibles, alors on a :
P(A) = n(A)/n

On établira dans la Leçon 4 des méthodes de dénombrement pouvant servir à déterminer n et n(A).

Exemple C1.L3.2

Soit une pièce de monnaie équilibrée jetée en l’air à trois reprises; on note à chaque fois sur quel côté elle tombe. L’espace échantillonnal de cette expérience noté S s’écrit :
S = {PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF}
On a :
e1 = PPP; e2 = PPF; etc.
Chaque résultat i a une probabilité pi.
E1 = {e1}; E2 = {e2}; etc. et leurs probabilités sont : pi = 1/8 (résultats équiprobables).
Soit A l’événement «la pièce de monnaie tombe à chaque fois sur le même côté». On a alors :
A = {PPP, FFF} et P(A) = 1/8 + 1/8 = 2/8 = 1/4
( P(A) = n(A)/n = 2/8 = 1/4 )


1.3.5 Quelques théorèmes utiles.

Théorème 1.1 .- Si Ø est l’ensemble vide, alors P(Ø) = 0.

Preuve.-

Soit S l’espace échantillonnal associé à l’expérience en cause. On peut écrire : S = S + Ø. Les ensembles S et Ø étant mutuellement exclusifs, les propriétés 2 et 4 de la définition d'une probabilité permettent d’écrire :
1 = P(S) = P(S U Ø) = P(S) + P(Ø) → P(Ø) = 0.


Théorème 1.2 .- A’ étant le complémentaire de A dans S, alors: P(A’) = 1-P(A).

Preuve.-

Soit S l’espace échantillonnal associé à l’expérience étudiée, soit A un événement de S. A’ étant le complémentaire de A dans S, on peut écrire : S = A U A’. De plus A et A’ étant mutuellement exclusifs, la propriété 4 de la définition d'une probabilité permet d’écrire :
1 = P(S) = P(A U A’) = P(A) + P(A’) → P(A’) = 1 – P(A).

Théorème 1.3 .- A et B étant deux événements quelconques de S, on a :
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

Preuve.-

On peut vérifier cette relation à l’aide d’un diagramme de Venn. On peut y constater qu’il faut retrancher P(A ∩ B) de la somme P(A) + P(B) pour ne pas compter deux fois la probabilité de l’intersection de A et B. Une démonstration plus rigoureuse du théorème 1.3 sera demandée en exercice.

Théorème 1.4 .- A, B et C étant trois événements quelconques de S, on a :
P(A U B U C) = P(A) + P(B)+ P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C).

Preuve.-

On peut poser X = A U B, écrire A U B U C = (A U B) U C = X U C, puis appliquer le théorème 1.3 aux événements X et C. Un diagramme de Venn peut aider à suivre les étapes de la démonstration ou à vérifier le théorème.


Théorème 1.5 .- Soit A la réunion de N événements A1, A2, …, AN :
A = A1 U A2 U…U AN.
P(A) est la probabilité de réalisation d’au moins un événement parmi les N événements A1, A2, …, AN.
On note :
pi = P(Ai); pij = P(Ai ∩ Aj); pijk = P(Ai ∩ Aj ∩ Ak); …
On définit :
S1 = ∑ pi; S2 = ∑ pij; S3 = ∑ pijk; …

avec i inférieur à j inférieur à k inférieur à ... inférieur ou égal à N.

La probabilité de A est donnée par :
P(A) = P(A1 U A2 U…U AN ) = S1 –S2 + S3 – S4 + ... ± SN = ∑ Si*(-1)^(i-1), i allant de 1 à N; dans la sommation, le symbole "^" signifie que (i-1) est l'exposant de (-1).

Preuve.-
Voir par exemple, Feller, tome I, pages 99-100. À la fin de la leçon 4, le lecteur sera en mesure de comprendre la preuve fournie dans Feller. Par ailleurs, une démonstration par induction est sans doute possible.

Remarque.- Les théorèmes 1.3 et 1.4 sont deux cas particuliers du théorème 1.5. Le théorème 1.3 correpond à N=2 tandis que le théorème 1.4 correspond à N=3.
En effet, pour N=2, on a :
P(A) = P(A1 U A2) = S1 – S2 = ( P(A1) + P(A2) ) – ( P(A1 ∩ A2) ).
Pour N=3, on a:
P(A) = P(A1 U A2 U A3 ) = S1 – S2 + S3 =
=(P(A1) + P(A2)+ P(A3)) – ((P(A1 ∩ A2) + P(A2 ∩ A3) + P(A3 ∩ A1) ) + P(A1 ∩ A2 ∩ A3).


Théorème 1.6.- A et B étant deux événements quelconques de S,
si A est inclus dans B, alors, P(A) ≤ P(B).

Preuve.-
Soit A et B deux événements de S tels que A soit inclus dans B. Soit A’ le complémentaire de A dans S. On a alors :
B = A U (A’ ∩ B)
Les événements A et (A’ ∩ B) étant mutuellement exclusifs, on peut écrire :
P(B) = P(A) + P(A’ ∩ B) ≥ P(A) car P(A’ ∩ B) ≥ 0.

Fin de la Leçon 1.3

Références utilisées

1. Hines, William W., Montgomery, Douglas C., Goldsman, David M., Borror, Connie M. (2005) Probabilités et statistique pour ingénieurs, Les Éditions de la Chenelière, 597 p., traduction de Probability and statistics in engineering, Fourth Edition, Wiley 2003 des mêmes auteurs et du chapitre 7 de Introduction to Statistical Quality Control, Fourth Edition, Montgomery, Douglas C., Wiley 2001.
2. Rumsey, Deborah (2006) Probability for Dummies, Wiley, 358 p.
3. Feller, William (1967) An Introduction to Probability Theory and its Applications, Volume I, Third Edition, Revised Printing (1970), Wiley, 509 p.
4. Moi-même.
   

Probabilités pour ingénieurs et pour presque tous les non mathématiciens (1.2)

Chapitre 1.- Quelques notions de base

1. Introduction
2. Définition de quelques termes reliés aux ensembles et aux probabilités
3. La probabilité d'un événement et sa détermination
4. L'espace échantillonnal fini et son dénombrement
5. Les probabilités conditionnelles
6. Les événements indépendants
7. La partition de l'espace échantillonnal, la loi de probabilité totale et le théorème de Bayes
   
   ***********************************************
   
   LEÇON 1.2 - Définition de quelques termes reliés aux ensembles et aux probabilités
   
   Dans cette deuxième leçon le lecteur maîtrisera le sens des termes définis dans les quatre questions suivantes :

1. Expérience aléatoire, espace échantillonnal, événement.
2. Espace échantillonnal fini, espace échantillonnal infini dénombrable, espace échantillonnal indénombrable.
3. Ensemble vide, réunion, intersection, complémentaire.
4. Diagramme de Venn.

1.2.1 Expérience aléatoire, espace échantillonnal, événement.

Dans la leçon précédente, on a commencé à se faire une idée de ce que sont une expérience aléatoire, un événement. Nous allons ici définir plus systématiquement ces termes et d’autres.

Les probabilités ont leurs propres notations, leurs propres symboles, leurs propres définitions. Ce sont des outils qui permettent de synthétiser les concepts.

Tout problème de probabilité est posé en commençant par définir l’information disponible et les quantités à estimer.

Expérience aléatoire.- La théorie des probabilités est née de situations de la vie courante dans lesquelles une expérience est réalisée et l’expérimentateur en observe le résultat. Ce genre d’expériences s’appelle expérience aléatoire. On peut décrire avant l’expérience, l’ensemble des résultats possibles.

Espace échantillonnal.- L’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire constitue l’espace échantillonnal.

Une probabilité est la chance qu’un certain résultat se produise parmi tous les résultats possibles pour un processus aléatoire donné. Le processus est dit aléatoire parce que vous conduisez une expérience, ou vous collectez des données, et vous ne savez pas quels résultats vont se présenter à vous à un moment donné, même si vous connaissez à l’avance l’ensemble des résultats possibles associés à l’expérience en question. Donc avant de faire l’expérience, vous déterminez la liste complète des résultats possibles, c’est-à-dire, l’espace échantillonnal que l’on note S. Il s’agit d’un ensemble.

Exemple C1.L2.1

Si le processus aléatoire (expérience) consiste à lancer un dé en l’air, les six résultats possibles forment l’espace échantillonnal :
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Événement.- Un sous-ensemble d’un espace échantillonnal donné S est appelé un événement et est noté par une lettre majuscule A, B, C, D, etc.

Exemple C1.L2.2

Étant donné l’expérience aléatoire consistant à lancer en l’air un dé une fois et dont l’espace échantillonnal est : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, l’événement A : «Le résultat du lancer est un nombre impair» se note : A = {1, 3, 5}. L’événement B : «Le résultat est un nombre plus grand que 2 mais différent de 5» se note : B = {3, 4, 6}.


1.2.2 Espace échantillonnal fini, espace échantillonnal infini dénombrable, espace échantillonnal indénombrable.-

Espace échantillonnal fini.-

Si l’on peur écrire et compter tous les éléments d’un espace échantillonnal S, on dit qu’il est un espace échantillonnal fini. L’ensemble S de l’exemple C1.L2.1 est un ensemble fini.

Exemple C1.L2.3

On jette en l’air à trois reprises une même pièce de monnaie équilibrée et l’on note à chaque fois sur quel côté elle tombe. L’espace échantillonnal s’écrit :
S = {PPP, PPF, PFP, PFF, FPF, FPP, FFP, FFF}.

Exemple C1.L2.4

On jette en l’air à trois reprises une même pièce de monnaie équilibrée et l’on note combien de fois elle tombe sur le côté face. L’espace échantillonnal s’écrit :
S = {0, 1, 2, 3}.

Espace échantillonnal infini dénombrable.-

L’espace échantillonnal est infini dénombrable si l’on dispose d’un moyen de montrer la progression des résultats (éléments) à partir des premiers résultats (discrets) mais le nombre total des résultats (éléments) est infini.

Exemple C1.L2.5

À l’aide d’un moniteur, on compte les radiations émises par une source radioactive dans un intervalle d’une minute. On a dans ce cas l’espace échantillonnal :
S = {0, 1, 2, 3,…}.
Il s’agit ici d’un espace échantillonnal infini dénombrable.

Espace échantillonnal indénombrable.-

L’espace échantillonnal est non dénombrable ou indénombrable si l’on a une situation où les résultats possibles sont trop nombreux et l’on ne peut les écrire dans une liste; on a alors recours à un intervalle pour décrire complètement les éléments de cet ensemble.

Exemple C1.L2.6

Par un certain procédé, on fabrique quotidiennement dans une usine un volume d’un certain produit mesuré suivant une certaine unité. La production journalière varie entre un minimum noté a et un maximum noté b. On choisit une journée au hasard et l’on note la quantité x produite cette journée-là. On a alors l’espace échantillonnal indénombrable suivant :
S = {x : x ε R, a ≤ x ≤ b}.

1.2.3 Ensemble vide, réunion, intersection, complémentaire

Ensemble vide

Si un événement ou un sous-ensemble d’un espace échantillonnal S ne contient aucun résultat, cet événement est un ensemble vide et est noté Ø.

Exemple C1.L2.7

On considère deux événements tirés de l’espace échantillonnal de l’exemple C1.L2.1 :
A = {1, 2, 3} et B = {4, 5, 6} sous-ensembles de S;
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Les événements A et B n’ont aucun élément en commun. L’ensemble des éléments communs à A et à B est l’ensemble vide Ø.

Réunion et Intersection

On considère l’expérience du lancer d’un dé. Soit l’événement A : «le dé tombe sur une face supérieure ou égale à 3» et l’événement B : «le dé tombe sur une face impaire». On a :
A = {3, 4, 5, 6} et B = {1, 3, 5}.

La réunion des ensembles A et B se note A U B et s’écrit :
A U B = {1, 3, 4, 5, 6}.

L’intersection des ensembles A et B se note A ∩ B et s’écrit :
A ∩ B = {3, 5}.
Si deux ensembles n’ont aucun élément en commun, leur intersection est l’ensemble vide.


Complémentaire

On considère à nouveau l’expérience du lancer d’un dé et l’événement B = {1, 3, 5}. Le complémentaire de B dans l’espace échantillonnal S (voir l’exemple C1.L2.1) est formé des éléments de S qui n’appartiennent pas à B. Il se note B’ et s’écrit : B = {2, 4, 6}. C’est l’événement : «le dé tombe sur une face paire».


1.2.4 Diagramme de Venn

Une manière de représenter l’information reliée à un problème de probabilité est d’illustrer par un schéma : l’espace échantillonnal, tous les événements impliqués et tous les sous-ensembles qui sont formés quand des événements se recoupent.

L’un des schémas les plus utilisés pour représenter l’espace échantillonnal et les événements est le diagramme de Venn.

Un diagramme de Venn est un schéma dans lequel un grand rectangle représente l’espace échantillonnal S, des cercles (toutes autres surfaces limitées par une ligne fermée) représentent les divers événements impliqués dans le problème étudié.

Les diagrammes de Venn peuvent être utilisés pour organiser et visualiser des relations entre événements, pour déterminer des probabilités au-delà de celles qui sont données au départ.

Si deux événements ont une intersection non vide, leurs cercles se chevauchent.

Diagramme de Venn de deux événements A et B ayant une intersection non vide

Si deux événements sont mutuellement exclusifs, leurs cercles ne se coupent pas : leur intersection est un événement impossible.

Si deux événements sont mutuellement exclusifs, l’occurrence de l’un empêche celle de l’autre : l’occurrence des deux événements simultanément est impossible.

Diagramme de Venn de trois évennements A, B et C mutuellement exclusifs

Si deux événements sont collectivement exhaustifs, leur réunion est l’espace échantillonnal S tout entier.

Diagramme de Venn de quatre événements A, B, C et D mutuellement exclusifs et collectivement exhaustifs.

Fin de la Leçon 1.2


Références utilisées dans la préparation de cette leçon:

1. Hines, William W., Montgomery, Douglas C., Goldsman, David M., Borror, Connie M. (2005) Probabilités et statistique pour ingénieurs, Les Éditions de la Chenelière, 597 p., traduction de Probability and statistics in engineering, Fourth Edition, Wiley 2003 des mêmes auteurs et du chapitre 7 de Introduction to Statistical Quality Control, Fourth Edition, Montgomery, Douglas C. Wiley 2001.

2. Rumsey, Deborah (2006) Probability for Dummies, Wiley, 358 p.

3. Moi-même.
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Mise à jour 21 juin 2010

Probabilités pour ingénieurs et pour presque tous les non mathématiciens (1.1)

Chapitre 1.- Quelques notions de base

1. Introduction
2. Définition de quelques termes reliés aux ensembles et aux probabilités
3. La probabilité d'un événement et sa détermination
4. L'espace échantillonnal fini et son dénombrement
5. Les probabilités conditionnelles
6. Les événements indépendants
7. La partition de l'espace échantillonnal, la loi de probabilité totale et le théorème de Bayes

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LEÇON 1.1 - Introduction
Dans cette première leçon le lecteur saura répondre aux quatre questions suivantes :
1. Comment les probabilités interviennent-elles dans la vie de tous les jours ?
2. Quel est le sens du nombre utilisé pour exprimer une probabilité ?
3. Comment établir le nombre qui exprime une probabilité ?
4. Comment éviter les erreurs conceptuelles en calcul des probabilités ?




1.1.1 Comment les probabilités interviennent-elles dans la vie de tous les jours ?
En réalité, les probabilités interviennent dans tous les gestes que nous posons et dans tout ce qui nous arrive dans la vie quotidienne. Cependant notre intuition ne nous aide pas du tout à trouver réponses aux questions soulevées à leur sujet.
Vous connaissez sans doute quelqu’un qui a été nommé Sénateur par le Premier ministre canadien, ou bien qui a été nommé Gouverneur général du Canada, ou bien qui a gagné deux fois à la loterie et vous vous demandez est-ce que vous pourriez être aussi chanceux qu’eux.

Les leçons que j’écris pour vous, vous permettront, à un moment donné, de comprendre, par exemple, les résultats d’un sondage d’opinion réalisé auprès des électeurs d’un pays donné, où deux partis politiques s’affrontent. Supposons que le sondage soit réalisé un mois avant le jour du scrutin. Supposons que le parti L bénéficie de X pourcents des intentions de votes auprès des électeurs sondés et que le parti Q en bénéficie de Y pourcents. Supposons qu’il n’y ait pas d’indécis, c’est-à-dire que X+Y = 100%. Que signifient les nombres X et Y pour les partis en lice ? Que signifie exactement la phrase qui qualifie les résultats du sondage : « La marge d’erreur du sondage est de 3%, 19 fois sur 20» ?

Quelle est la probabilité (la chance) que chacun des événements suivants ait lieu ?

• Nous sommes en avril 2010, et vous décidez de passer deux semaines de vacances d’été à Port-au-Prince du samedi 17 au samedi 31 juillet 2010. Quelle est la probabilité qu’un séisme de magnitude 7.0 à l’échelle de Richter ait lieu pendant votre séjour en Haïti le long de la faille Enriquillo entre Pétion-Ville et Grand-Goâve ?

• Quelle est la probabilité qu’un bloc de glace de 5 cm de diamètre se détache du parapet enrobé de glace d’un viaduc au-dessus de l’autoroute Décarie à Montréal, et tombe sur le pare-brise de votre véhicule au moment où vous passez sous ce viaduc au volant de votre véhicule un dimanche donné, au cours d’un hiver donné, à la suite d’une forte tempête de neige ?

• Vous êtes au volant de votre voiture sur une route au Québec et vous tenez votre téléphone pour lancer un appel téléphonique à un ami (ce geste est maintenant illégal au volant). Quelle est la probabilité de vous faire intercepter par la police et recevoir de lui un billet d’infraction au code de la route ?

Les situations présentées ci-dessus sont des exemples de manifestations de phénomènes aléatoires, ou des exemples d’événements qui peuvent vous arriver ou dont vous pouvez être témoin dans la vie courante.


L’ensemble des leçons qui vous suivront vous permettront de quantifier, d'interpréter, de comprendre les phénomènes aléatoires que vous pouvez observer dans votre vie de tous les jours où dans votre profession, quelle qu’elle soit.

1.1.2 Quel est le sens du nombre utilisé pour exprimer une probabilité ?
Comme on le verra au cours de ces leçons, la théorie des probabilités a un langage qui lui est propre, comme cela arrive dans chaque discipline. Nous apprendrons ce langage au fur et à mesure.

Voici quelques termes utilisés dans le langage courant pour traduire les probabilités : chance, vraisemblance, pourcentage, proportion, etc.
Une probabilité se définit comme étant la chance (réelle) qu’un certain événement se produise à partir d’un phénomène aléatoire donné.

Une probabilité s’exprime par un nombre compris entre 0 et 1. Ce nombre peut être un nombre décimal ou une fraction (un rapport). On peut aussi exprimer la probabilité par un pourcentage (entre 0 % et 100%).

Exemple C1.L1.1
Par exemple, on considère l’expérience suivante que l’on peut répéter à volonté. On lance en l’air une pièce de monnaie que l’on suppose parfaite (c’est-à-dire, sans défaut). On dira parfois que la pièce est bien équilibrée. La pièce a alors autant de chances de tomber sur le côté face que de chances de tomber sur le côté pile. On suppose ici que la possibilité pour la pièce soit suffisamment mince pour ne pas pouvoir tomber (rester) debout au sol en s’y appuyant selon une ligne de contact correspondant à l’une des positions particulières qu’occuperait la génératrice qui engendre la surface latérale du cylindre. On peut concevoir que la probabilité que la pièce tombe sur le côté face (c’est-à-dire que seule le côté face est visible) est égale à 50% ou ½. On dira que les chances pour que la pièce de monnaie tombe sur le côté face sont de 1 sur 2.

Exemple C1.L1.2
On lance en l’air un dé supposé parfait (le dé est un petit cube ayant donc six faces carrée, huit sommets et 12 arêtes). Les faces sont numérotées de 1 à 6 à l’aide de points noirs (petites surfaces circulaires). La probabilité que le dé tombe sur la face numéro 5 (la face du dessus contient cinq points noirs) est à peu près égale à 16,67%. Plus précisément, la probabilité pour que le dé tombe sur la face 5 est égale à 1/6. Ou encore, les chances pour le dé de tomber sur la face 5 sont de 1 sur 6.
On connaît cette probabilité à l’avance, c’est-à-dire avant de commencer l’expérience du lancer de dé ! Et chacune des faces du dé a la même chance d’occuper la position du dessus à la fin d’un lancer du dé, soir 1 sur 6.

Le terme chance peut avoir plusieurs sens. Il peut correspondre à un individu ou à un groupe d’individus. Quelles sont les chances d’un candidat d’être élu parmi plusieurs candidats en lice ? Quel est le pourcentage d’hommes de race noire susceptibles d’avoir le cancer de la prostate après 45 ans ?

Tous les termes employés pour traduire les probabilités reposent sur l’idée de
chance à long terme.

Exemple C1.L1.3
Reprenons l’expérience du lancer d’une pièce de monnaie. La pièce est lancée en l’air 10 000 fois de suite et l'on note à chaque fois sur quelle face elle tombe. On suppose que la pièce est parfaite et qu'elle le reste tout au long de l’expérience, quel que soit le nombre de lancers (les ingénieurs diraient qu’il n’y a pas de déformations permanentes quel que soit le nombre de chocs). Peut-on estimer, avant l’expérience, le nombre de fois que la pièce tombera sur face après 10 000 lancers ?
Pour une pièce de monnaie parfaite, on peut s’attendre à ce qu’elle tombe environ autant de fois sur face que sur pile : à peu près 5 000 fois.

En réalité, les pièces de monnaies sont imparfaites (biaisées). En simulant l'expérience du lancer sur ordinateur, on peut considérer virtuellement que le dé utilisé est sans sans biais. On a réalisé l’expérience sur ordinateur dans les années 50. Voici en résumé un extrait des résultats obtenus :
Pour les 1 000 premiers lancers : 501 faces.
Pour les 2 000 premiers lancers : 986 faces.
Pour les 3 000 premiers lancers : 1495 faces.
Pour les 4 000 premiers lancers : 2031 faces.
Pour les 5 000 premiers lancers : 2516 faces.
Pour les 6 000 premiers lancers : 3004 faces.
Pour les 7 000 premiers lancers : 3504 faces.
Pour les 8 000 premiers lancers : 4001 faces.
Pour les 9 000 premiers lancers : 4495 faces.
Pour les 10 000 premiers lancers : 4979 faces.

Nous observons ici que, dans les dix étapes considérées, le nombre de faces observé est environ la moitié du nombre de lancers. Cependant, il faudrait recourir à une théorie plus avancée pour vérifier dans quelle mesure ces résultats empiriques sont en accord avec le modèle théorique (idéal) de lancer de dé. Sur ce point particulier, le lecteur intéressé pourra consulter Feller (1968), p. 21-22, 86-88.



Certaines probabilités sont très difficiles à quantifier. Par exemple quelle est la probabilité pour une tempête tropicale de se transformer en un ouragan qui causera finalement des glissements de terrains à un certain endroit à un certain moment ? Il s’agit d’une probabilité qui dépend de plusieurs facteurs, ces derniers étant eux-mêmes presque impossibles à évaluer.
Certaines autres, on l’a vu, sont très faciles à évaluer : la probabilité pour un dé de tomber sur la face 5 est 1/6.
Entre ces deux extrêmes se situent des probabilités pour lesquelles les observations antérieures peuvent être utilisées pour se faire une bonne idée de ce qui peut vraisemblablement arriver.


1.1.3 Comment établir le nombre qui exprime une probabilité ?
Comment quantifier la probabilité d’un événement ?
Selon la complexité de la situation étudiée, on peut recourir à l’une des quatre approches suivantes :
a) une approche subjective;
b) une approche mathématique;
c) un simple calcul de fréquences relatives;
d) le recours à des simulations.

L’approche subjective est plutôt vague, peu rigoureuse, fondée sur des perceptions, des opinions, ou des désirs.
L’approche mathématique est basée sur des formules. Elle est utilisée quand on peut déterminer à l’avance tous les résultats possibles et alors calculer une fois pour toutes, avant l’expérience, la probabilité d’occurrence de chacun des résultats possibles.

L’approche par calcul des fréquences relatives se fait à partir de la cueillette d’informations (de données) à la suite de laquelle on calcule la fréquence de l’occurrence d’un événement donné.

L’approche par simulations consiste à générer des données selon un certain schéma (scénario) en répétant un grand nombre de fois ce scénario. En général, on a recours à un ordinateur pour faire les simulations. Cette technique est très utilisée dans la recherche scientifique. Elle peut coûter cher en temps de calcul, en plus d’être dans certains cas, très sophistiquée, c’est-à-dire requérir l’utilisation de techniques mathématiques et/ou numériques de pointe.


1.1.4 Comment éviter les erreurs conceptuelles en calculs des probabilités ?

• Il faut éviter de se fier à son intuition pour estimer les probabilités car, souvent, elles défient l’intuition.

• Choix d’un nombre entre 1 et 10. Considérons un jeu de société auquel participent 100 personnes. On considère ici seulement la première étape du jeu consistant à choisir dans sa tête une carte dans un lot 10 de cartes différentes numérotées de 1 à 10 et placées dans cet ordre, l’une à la suite de l’autre. On espère qu’environ 10 personnes choisiront la carte no. 1, 10 autres la carte no. 2, et ainsi de suite. Mais ce n’est pas cela qui arrive. On observe que les personnes choisissent plus souvent la carte no. 3 ou la carte no. 7. La raison, c’est que les personnes ont tendance à ne pas choisir la carte no. 1 ou la carte no. 10 car elles sont placées aux extrémités. Elles ne veulent pas prendre non plus la carte no. 5, car elle est au milieu. Alors elles y vont pour un nombre plus aléatoire : la carte situé à mi-chemin entre 1 et 5, soit 3, et celle à mi-chemin entre 5 et 10, soit 7. On doit dans ce cas, rejeter l’hypothèse selon laquelle les 10 choix sont équiprobables. Le choix des gens n’est pas aussi objectif que l’est un générateur de nombres aléatoires ou une table de nombres aléatoires.

• Si l’on inscrit chacun des nombres de 1 à 10 sur un carton individuel et si on les place dans une urne, on les brasse et l’on tire un carton au hasard, on crée alors un processus aléatoire.

• Lancer d’une pièce de monnaie dix fois. On considère l’expérience suivante consistant à lancer en l’air 10 fois de suite une pièce de monnaie. Supposons que le résultat obtenu se présente dans l’ordre suivant (F=face, P=pile) : F P F P P P P P P F. On pourrait penser que les lancers ne soient pas tout à fait aléatoires. Mais cette déduction basée sur l’intuition est fausse. Si on lance une pièce de monnaie 10 fois de suite avec 2 résultats possibles pour chaque lancer (P ou F), on a 2^10 = 1024 résultats possibles pour un ensemble de 10 lancers successifs, chaque résultat étant équiprobable. Le résultat précédent (F P F P P P P P P F) apparaît maintenant comme étant réellement aléatoire. La probabilité associé à chacun des résultats est p = 1/1024 (soit environ 0,000977). On suppose que la pièce est équilibrée (sans défaut).


Fin de la Leçon 1.1


Références utilisées dans la préparation de cette leçon:

1. Hines, William W., Montgomery, Douglas C., Goldsman, David M., Borror, Connie M. (2005) Probabilités et statistique pour ingénieurs, Les Éditions de la Chenelière, 597 p., traduction de Probability and statistics in engineering, Fourth Edition, Wiley 2003 des mêmes auteurs et du chapitre 7 de Introduction to Statistical Quality Control, Fourth Edition, Montgomery, Douglas C. Wiley 2001.

2. Rumsey, Deborah (2006) Probability for Dummies, Wiley, 358 p.

3. Feller, William (1967) An Introduction to Probability Theory and its Applications, Volume I, Third Edition, Revised Printing (1970), Wiley, 509 p.

4. Moi-même.

Probabilités pour ingénieurs et pour presque tous les non mathématiciens (1)

Enfin, je vais pouvoir commencer la publication de la série de leçons.

Je la divise en deux parties:

Première Partie: Les Probabilités

Deuxième partie: La Statistique

Voici le plan proposé pour la première partie:

Chapitre 1.- Quelques notions de base

Chapitre 2.- Les variables aléatoires discrètes, les variables aléatoires continues, les fonctions d'une variable aléatoire

Chapitre 3.- Quelques lois de probabilité discrètes

Chapitre 4.- Quelques lois de probabilité continues

Chapitre 5.- La loi normale

Chapitre 6.- Les vecteurs aléatoires

Le plan de la deuxième partie sera donné plus tard.

Voici le plan du chapitre 1.

Chapitre 1.- Quelques notions de base

1. Introduction
2. Définition de quelques termes reliés aux ensembles et aux probabilités
3. La probabilité d'un événement et sa détermination
4. L'espace échantillonnal fini et son dénombrement
5. Les probabilités conditionnelles
6. Les événements indépendants
7. La partition de l'espace échantillonnal, la loi de probabilité totale et le théorème de Bayes

Le plan des autres chapitres sera donné au fur et à mesure.

Je posterai chacune des 7 leçons du chapitre 1 au fur et à mesure. La première leçon sera disponible ici dans les 72 prochaines heures.

À très bientôt.

Dr. Pierre Montès

Génie des maths, il refuse un prix d'un million de dollars

*

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Par Flore Galaud
Source: Lefigaro.fr, 24/03/2010


Grigori Perelman, un Russe de 44 ans, a décliné la récompense de l'Institut Clay des Mathématiques pour avoir résolu la conjecture de Poincaré. Depuis quatre ans, il vit reclus dans son petit appartement vétuste de Saint-Pétersbourg.

Les chiffres, oui, mais pas sur des billets verts. Le russe Grigori Perelman, rendu célèbre pour avoir résolu l'un des problèmes mathématiques les plus difficiles posés au 20e siècle, a fait savoir lundi qu'il refusait d'aller chercher le «Prix du Millénaire» que lui a décerné la semaine dernière l'Institut Clay des Mathématiques - un prix qui l'aurait pourtant récompensé d'un million de dollars (750.000 euros). C'est la seconde fois que ce brillant mathématicien, réputé pour être un homme discret, ne vient pas chercher un prix qui lui a été décerné.

Pour Grigori Perelman, tout démarre en 2002. Alors chercheur à l'Institut Steklov de Mathématiques de Saint-Pétersbourg, ce Russe de 44 ans décide de publier ses recherches sur la conjecture de Poincaré sur une plateforme gratuite Internet, destinée aux scientifiques. Cet exercice mathématique, de nombreux chercheurs s'y sont cassé les dents auparavant. Formulée pour la première fois par Henri Poincaré en 1904, il s'agit d'arriver à déterminer si une forme quelconque peut constituer une sphère de trois dimensions.

L'air de rien, Grigori Perelman explique avoir résolu le problème, pourtant considéré par l'Institut Clay comme l'un des «sept problèmes les plus recherchés du millénaire». Rapidement, la nouvelle se propage dans le milieu scientifique et la trouvaille est validée par les plus grands chercheurs. Après avoir travaillé des années dans l'anonymat le plus total, le mathématicien devient une référence dans le milieu.


Il a démissionné de son poste de chercheur

Mais Grigori Perelman n'est pas préparé à cette consécration. En 2005, quelque peu dépassé par la situation, il décide de quitter ses fonctions à l'Institut Steklov où il travaille depuis quinze ans. En 2006, l'Union mathématique internationale (IMU) lui décerne, sans surprise, la prestigieuse médaille Fields, sorte de Prix Nobel de mathématiques décerné tous les quatre ans. Une médaille qu'il n'ira jamais chercher, préférant expliquer aux journalistes - sans leur ouvrir la porte de son appartement - qu'il ne souhaite pas «être exposé comme un animal dans un zoo». «Je ne suis pas un héros de mathématiques, leur lance-t-il alors. Je ne suis même pas un génie, c'est pour cela que je ne veux pas que tout le monde me regarde».

Ainsi, depuis quatre ans, Grigori Perelman vit quasiment reclus dans un petit appartement de Saint-Pétersbourg, en compagnie de sa mère âgée. Selon l'une de ses voisines, qui s'est confiée au Daily Mail, l'homme vivrait dans des conditions plus que rudimentaires : «J'ai été une fois dans son appartement et j'ai été abasourdie. Il y a seulement une table, un tabouret et un lit avec un matelas crasseux cédé par les anciens locataires». D'après ses proches, l'homme aurait cessé toute recherche dans le domaine des mathématiques.
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Voir aussi : yahoo.com.

Man Uses Math to Explain Girlfriend Woes/un mathématicien explique son célibat par une équation

NDCDP-Mathématiques appliquées.-

Cet article arrive au moment où nous trouvons enfin quelques plages horaires pour débuter enfin notre série sur les probabilités et la statistique.

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Peter Backus in his paper, "Why I don't have a girlfriend: An application of the Drake Equation to love in the UK," used math to estimate the number of potential girlfriends in the UK. (University of Warwick)

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Source: foxcharlotte.com, Tuesday, 12 Jan 2010, 12:19 PM EST

Man Uses Math to Explain Girlfriend Woes
By FRANK CARNEVALE

A man studying in London has taken a mathematical equation that predicts the possibility of alien life in the universe to explain why he can't find a girlfriend.

Peter Backus , a native of Seattle and PhD candidate and Teaching Fellow in the Department of Economics at the University of Warwick, near London, in his paper, " Why I don't have a girlfriend: An application of the Drake Equation to love in the UK ," used math to estimate the number of potential girlfriends in the UK.

In describing the paper on the university Web site he wrote "the results are not encouraging. The probability of finding love in the UK is only about 100 times better than the probability of finding intelligent life in our galaxy."

Click Liverpool reported that Backus, 30, found that of the 30 million women in the UK, only 26 would be suitable girlfriends for him. His equation looked at the total number of women in the country, then narrowed it down using relevant factors including the number of women in London; the number of "age-appropriate" women (those aged between 24-34); women with a college degree; and those who Backus would find physically attractive.

In the paper Backus summarized that on a given night out in London there is a 0.0000034 percent chance of meeting a woman that meets his criteria and who is also interested in him. That makes his odds of finding a girlfriend only about 100 times better than finding an alien.

But in the end Backus defied the odds. Asylum reported that Backus has a girlfriend of about six months. "She's from London," he told the Web site. "And she meets all my criteria."

The Drake Equation was developed in 1961 by Dr. Frank Drake at the National Radio Astronomy Observatory in West Virginia. It reads N = R* x Fp x Ne x Fi x Fc x L, and helped predict that there could be 10,000 civilizations in our galaxy. The SETI Web site has more information about what each factor represents. Wikipedia also has an expansive entry about the equation.

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Voici une traduction trouvée dans: zigonet.com, 2010-01-23 16:01:00

Un mathématicien explique son célibat par une équation

Grande-Bretagne - Un jeune homme, chargé de travaux dirigés en mathématiques à l’université de Warwick, aurait découvert une explication à son célibat grâce à une formule mathématique.

Peter Backus, 30 ans, vient de publier sa thèse intitulée "Pourquoi je n’ai pas de petite amie" après trois ans de célibat. Pour expliquer cela, il a utilisé la fameuse formule mathématique appelée équation de Drake. Cette formule avait déjà été utilisée pour estimer l’existence d’une vie extraterrestre.

Selon lui, sur les 30 millions de femmes britanniques, seulement 26 lui conviendraient en tant que petite amie. L’équation a pris en compte les célibataires âgées entre 24 et 34 ans et vivant dans sa ville de Londres. "De ce fait lors d’une sortie, j’ai 0,0000034% de chance de rencontrer l’une de ces personnes. Cela veut dire 1 chance sur 285.000, ce qui n’est pas super" explique-t-il.

L’equation de Drake : N = R* x Fp x Ne x Fi x Fc x L , avait aidé le Professeur Drake a établir qu’il existerait 10.000 autres civilisations dans notre galaxie. M. Backus a utilisé cette équation en changeant les critères (incluant un rendez-vous idéal et le pourcentage de femmes susceptibles de le trouver attirant).
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Équation de Drake:

http://en.wikipedia.org/wiki/Drake_equation

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Drake