Les internautes, étudiants, ingénieurs, scientifiques et autres personnes intéressées pourront lire en ligne (et télécharger) des cours mathématiques.
L'institution qui offre ce service gratuit (les dons sont laissés à votre convenance) n'est nulle autre que le MIT (Massachusetts Institute of Technology).
Cliquez pour satisfaire votre curiosité et votre soif de savoir:
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http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/index.htm
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N.B.
<----- Dans la colonne de gauche du blog est fournie une liste de liens vers du matériel de cours gratuits produits par le MIT pour d'autres branches: Physique, Chimie, Biologie, Sciences de la terre, de l'atmosphère et des planètes, Science cognitive et Science du cerveau. J'y ai également mis le lien vers les matériels de cours gratuits de Mathématiques. Faites circuler l'information.
lundi 16 février 2009
mercredi 11 février 2009
Les mathématiques vues par deux mathématiciens du XXe siècle
J’ai eu l’occasion de rencontrer Philip Davis(1) à une conférence sur la Conception Géométrique Assistée par Ordinateur (Computer-Aided Geometric Design, CAGD) à l’Université d’État de l’Arizona, ASU, à Tempe, en novembre 1989. Cette conférence réunissait des mathématiciens et des ingénieurs du monde entier et était organisée par le pofesseur Robert Barnhill.
Philip Davis est un grand et sympathique conférencier. Il a écrit avec Reuben Hersh(2) un livre de vulgarisation intitulé, The mathematical experience, dont la traduction française, L’univers mathématique (3), a été réalisée par nul autre que le mathématicien Lucien Chambadal.
Le Coin de Pierre – Mathématiques appliquées présente quelques extraits de l’introduction, intitulée Ouverture, qui semble avoir été écrite par Philip Davis, et quelques extraits du chapitre 1, intitulé Le paysage mathématique.
C’est de cette manière que je choisis de débuter ce blog.
Philip Davis est un grand et sympathique conférencier. Il a écrit avec Reuben Hersh(2) un livre de vulgarisation intitulé, The mathematical experience, dont la traduction française, L’univers mathématique (3), a été réalisée par nul autre que le mathématicien Lucien Chambadal.
Le Coin de Pierre – Mathématiques appliquées présente quelques extraits de l’introduction, intitulée Ouverture, qui semble avoir été écrite par Philip Davis, et quelques extraits du chapitre 1, intitulé Le paysage mathématique.
C’est de cette manière que je choisis de débuter ce blog.
***
Ouverture.-
« Jusqu’à environ cinq ans, j’étais un mathématicien normal. Je ne faisais pas de choses hasardeuses ou peu orthodoxes, telle l’écriture du présent livre. J’avais mon « domaine» - les équations aux dérivées partielles – et j’y restais, ou je ne franchissais ses limites que pour me promener dans un domaine voisin. Ma pensée profonde, ma véritable vie intellectuelle, utilisaient des catégories et des modes d’analyse que j’avais absorbés des années auparavant, dans ma formation d’étudiant diplômé. Mais je ne m’égarais jamais loin de ces modes et de ces catégories, et j’en étais à peine conscient. Ils faisaient partie de la manière dont je voyais le monde, mais non partie du monde que j’observais.»
« Mon avancement dépendait de mes recherches et de mes publications dans mon domaine… Me libérer de cette conception – c’est-à-dire, reconnaissons-le, apprendre que c’était seulement l’une parmi de nombreuses manières d’observer le monde, d’être capable de la choisir ou non, de l’évaluer et de la comparer à d’autres manières d’observer le monde – rien de ceci n’était nécessaire pour mon travail ou ma carrière… »
« Le fait est, cependant, que je suis arrivé à un point où mon émerveillement et ma fascination pour la signification et le but de cette étrange activité que nous appelons les mathématiques sont égaux, voire supérieurs à mon attirance pour faire effectivement des mathématiques. Je constate que le monde des mathématiques est infiniment complexe et mystérieux ; l’explorer est une manie dont j’espère n’être jamais guéri. En ceci, je suis un mathématicien comme les autres. Mais en outre, une seconde moitié de moi-même s’est développée, un Autre, qui observe ce mathématicien avec stupeur, et qui est encore plus fasciné par le fait qu’une aussi étrange créature et une aussi étrange activité aient pu venir au monde, et persister pendant des millénaires.»
« Je fais remonter ces débuts au jour où je parvins enfin à faire un cours intitulé «Fondements des mathématiques »…Mon but en faisant ce cours, comme pour tous ceux que j’ai dispensés au fil des ans, était d’apprendre le sujet moi-même. À cette époque, je savais qu’il y avait une histoire de controverse sur les fondements. Je savais qu’il y avait eu trois «écoles» principales ; les logiciens, à la suite de Bertrand Russell, les formalistes, conduits par David Hilbert, et l’école constructiviste de E. J. Brouwer. J’avais une idée générale de l’enseignement de chacune de ces trois écoles. Mais je n’avais aucune idée de celle qui me conviendrait, si elle existait, et seulement une vague idée de ce qu’étaient devenues ces trois écoles un demi-siècle après l’époque où leurs fondateurs étaient en activité.»
« J’espérais qu’en enseignant ce cours, j’aurais l’occasion de lire et d’étudier les fondements des mathématiques, et ultérieurement de clarifier mes propres vues sur les parties controversées. Je n’avais pas l’intention de devenir un chercheur sur les fondements des mathématiques, pas plus que je n’étais devenu un théoricien des nombres après avoir enseigné la théorie des nombres.»
« Parce que mon intérêt pour les fondements était plutôt philosophique que technique, j’essayai d’organiser le cours de telle sorte qu’il puisse être suivi par des étudiants intéressés sans connaissances spéciales préalables ; en particulier, j,espérais attirer des étudiants en philosophie, et des étudiants en pédagogie des mathématiques. En fait, il y eut très peu de tels étudiants ; il y avait aussi des étudiants en ingénierie électrique, en informatique et en d’autres disciplines. Toutefois, les étudiants en mathématiques étaient le majorité. Je trouvai un couple de textes de bonne apparence, et je m’y plongeai.»
« Me trouvant devant un auditoire mélangé d’étudiants en mathématiques, en pédagogie et en philosophie, à faire des cours sur les fondements des mathématiques, je me trouvais dans une situation nouvelle et étrange. J’enseignais les mathématiques depuis quinze ans, à tous les niveaux et sur des sujets très variés, mais dans tous mes autres cours, le travail n’était pas de parler à propos des mathématiques, mais d’en faire. Ici mon but n’était pas d’en faire, mais d’en parler. C’était différent et effrayant.»
«… Dans un cours ordinaire de mathématiques, le programme est nettement découpé. Nous avons des problèmes à résoudre, ou une méthode à exposer, ou un théorème à démontrer. On effectue la plus grande partie du travail en écrivant, d’habitude au tableau noir. Si les problèmes sont résolus, les théorèmes démontrés ou les calculs achevés, alors le professeur et l’auditoire savent qu’ils ont achevé la tâche du jour… »
« En inaugurant mon cours sur les fondements des mathématiques, je formulais les questions que je croyais être centrales, et auxquelles j’espérais que nous pourrions donner une réponse, ou tout au moins une clarification, à la fin du semestre.»
« Qu’est-ce qu’un nombre ? Qu’est-ce qu’un ensemble ? Qu’est-ce qu’une démonstration ? Que savons-nous en mathématiques, et comment le savons-nous ? Qu’est-ce que la «rigueur mathématique» ? Qu’est-ce que l’«intuition mathématique» ? »
« Comme je formulais ces questions, je me rendis compte que je ne connaissais pas les réponses. Bien entendu, cela n’avait rien de surprenant, car pour des questions aussi vagues, «philosophiques», on ne peut attendre des réponses nettes du type que nous cherchons en mathématiques. Il y aura toujours des divergences d’opinion sur de telles questions. »
« Mais ce qui m’ennuyait, c’est que j’ignorais quelle était ma propre opinion. Ce qui était pire, c’est que je n’avais pas de base, de critère pour évaluer les diverses opinions, pour défendre ou attaquer un point de vue ou un autre. »
« Je me suis mis à parler aux autres mathématiciens de la démonstration, de la connaissance et de la réalité en mathématiques, et je trouvai que ma situation d’incertitude confuse était typique. Mais je trouvai aussi un désir remarquable pour la conversation et la discussion sur nos expériences personnelles et nos croyances intimes. »
« Ce livre (3) fait partie des retombées de ces années de réflexion, d’enquête et de discussions. »
Qu’est-ce que les mathématiques ? -
« Une définition naïve, convenant pour le dictionnaire et pour une compréhension initiale, est la suivante : « Les mathématiques sont la science de la quantité et de l’espace. » En élargissant légèrement cette définition, on peut ajouter que les mathématiques traitent aussi du symbolisme reliant la quantité à l’espace. »
« Cette définition a certainement une base historique ;…mais l’un des buts de cet ouvrage est de la modifier et de l’amplifier d’une manière qui reflète le développement du sujet au cours des derniers siècles et qui indique les vues des diverses écoles de mathématiques sur ce que ce sujet devrait être.»
« Les sciences de la quantité et de l’espace sous leurs formes les plus simples sont connues sous les noms d’arithmétique et de géométrie. L’arithmétique, telle qu’elle est enseignée à l’école, s’intéresse aux nombres de toute sorte, et des règles d’opérations sur les nombres…»
« La géométrie…s’intéresse en partie aux questions de mesures de l’espace… Mais la géométrie, si elle est enseignée suivant les règles posées par Euclide trois cents ans avant notre ère, a un autre aspect d’une importance vitale. Il s’agit de sa présentation comme une science déductive. Commençant avec un petit nombre d’idées élémentaires considérées comme évidentes, et sur la base de quelques règles bien déterminées de manipulation mathématique et logique, la géométrie euclidienne construit un édifice de déductions de complexité croissante.»
« … La géométrie euclidienne est le premier exemple de système déductif formalisé ; elle est devenue le prototype pour tous les autres systèmes. »
«… Avec l’insistance croissante mise sur l’aspect déductif de toutes les branches des mathématiques, C. S. Peirce, au milieu du XIXe siècle, annonçait que « les mathématiques sont la science de la production des conclusions nécessaires». Conclusions sur quoi ? Sur la quantité ? Sur l’espace ? Le contenu des mathématiques n’est pas déterminé par cette définition ; les mathématiques pourraient être «presque» n’importe quoi dans la mesure où il s’agit d’un sujet présentant le schéma hypothèse – déduction - conclusion. Sherlock Holmes fait remarquer à Watson, dans le Signe des quatre, que «la déduction est, ou devrait être, une science exacte et devrait être traitée de la même manière froide et impassible. Vous avez essayé de la teinter de romantisme, ce qui produit le même effet que si vous introduisez une histoire d’amour ou un enlèvement dans le cinquième postulat d’Euclide.» Ici Conan Doyle affirme ironiquement que l’enquête criminelle peut très bien être considérée comme une branche des mathématiques. Peirce serait d’accord. »
« La définition des mathématiques change. Chaque génération, chaque mathématicien porté vers la réflexion à l’intérieur de cette génération énonce une définition correspondant à son point de vue… »
Où trouver les mathématiques ? -
« Quel est le lieu des mathématiques ? Où se trouve-t-il ? Sur la page imprimées, naturellement, et avant l’imprimerie, sur les tablettes ou sur les papyrus… Mais elles doivent d’abord exister dans l’esprit des gens, car le rayonnage de livres ne crée pas les mathématiques. Les mathématiques existent dans des conférences enregistrées, dans les mémoires des ordinateurs et dans les circuits imprimés. Devrions-nous dire aussi qu’elles existent dans des machines mathématiques telles les règles à calcul et les caisses enregistreuses et, comme d’aucuns le croient, dans l’arrangement des pierres de Stonehenge ? Devrions-nous dire qu’elles résident dans les gènes du tournesol si cette plante porte des graines réparties sur des spirales logarithmiques et transmet des informations mathématiques de génération en génération ? …»
Quel pourcentage est-il possible de connaître ? -
« Les livre de mathématiques à Brown University sont logés au quatrième étage de la bibliothèque des sciences. Dans le métier, on considère qu’il s’agit d’une belle collection de mathématiques, et un calcul grossier montre que cet étage contient l’équivalent de soixante mille volumes de format moyen. Il y a bien sûr une certaine redondance dans le contenu de ces volumes et une certaine carence dans les possessions de l’université Brown, ce qui nous permet d’affirmer que l’un compense l’autre. À ces nombres nous devons peut-être ajouter une quantité égale de sujets mathématiques dans des domaines adjacents tels que l’ingénierie, la physique, l’astronomie, la cartographie, ou dans de nouveaux champs d’application comme l’économie. De cette manière nous arrivons au total de, disons 100 000 volumes. »
« Cent mille volumes. Cette somme de connaissances et d’information est très au-dessus des possibilités de qui que ce soit. C’est encore peu comparé à d’autres bibliothèques, comme en physique, en médecine, en droit ou en littérature. À une époque éloigné seulement de la durée de la vie d’un homme d’aujourd’hui, la totalité des mathématiques était considérée comme essentielle pour le bagage des connaissances d’un étudiant consciencieux. Le mathématicien helvético-russe Alexandre Ostrowski a dit un jour que quand il se présenta à l’examen pour enseigner à l’université de Marburg (vers 1915), on s’attendait à ce qu’il fût près à traiter de n’importe quelle question dans n’importe quelle branche des mathématiques. »
« On ne pourrait en dire autant aujourd’hui. Vers la fin des années 1940, John von Neuman estimait qu’un mathématicien habile savait, pour l’essentiel, dix pour cent de ce qui était disponible. C’est un aphorisme populaire que de dire que les connaissances s’ajoutent toujours, ne se retranchent jamais. Cet aphorisme persiste, malgré d’aussi choquantes évaluations que celle de A. N. Whitehead, lequel observait que l’Europe de l’an 1500 savait moins de choses que la Grèce au temps d’Archimède. Les mathématiques se construisent sur elles-mêmes ; elles forment un agrégat. La géométrie repose sur l’arithmétique et sur l’algèbre. L’analyse est bâtie sur les trois précédentes. La topologie est un rejeton de la géométrie, de la théorie des ensembles et de l’algèbre. Les équations différentielles sont édifiées sur l’analyse, la topologie et l’algèbre. Les mathématiques sont souvent représentées comme un arbre puissant avec ses racines, son tronc, ses branches, et des ramilles étiquetées selon certaines sous-disciplines. C’est un arbre qui croît avec le temps.»
« …La première branche est une condition préalable pour la compréhension de la suivante. Ainsi, l’étudiant sait qu’en vue d’étudier et de comprendre la théorie des équations différentielles, il doit suivre des cours d’analyse élémentaire et d’algèbre linéaire. Cette dépendance séquentielle est en contraste avec d’autres disciplines, telles que les beaux-arts ou la musique.»
« Mais tandis qu’il y a beaucoup de vrai dans la vision des mathématiques comme une science cumulative, cette vision ainsi présentée est plutôt naïve. Au fur et à mesure que les édifices mathématiques se construisent, il y a d’autres procédés concomitants en œuvre qui tendent à les abattre. Des théories deviennent impopulaires et sont négligées. Des faits isolés se révèlent erronés ou incomplets. Des travaux passent dans l’obscurité et deviennent des curiosités…D’autres théories, arrivées à un point de saturation, sont abandonnées… Des méthodes supérieures sont découvertes et remplacent les précédentes (de grandes tables de fonctions spéciales sont remplacées par les approximations câblées des ordinateurs). Tout ceci contribue à une diminution des sujets qui doivent se trouver au premier plan de la conscience mathématique. »
« Il y a aussi une perte de savoir due à la destruction ou à la détérioration du support matériel. Des bibliothèques ont été détruites pendant des guerres et des insurrections. Et ce qui n’a pas été accompli par les guerres l’a été par la chimie…»
« Combien de livres de mathématiques le candidat au doctorat devrait-il connaître ? Le candidat moyen suivra de quatorze à dix-huit cours semestriels de premier cycle et seize de second cycle. À raison d’un livre par cours, et doublant le résultat pour des lectures additionnelles ou de recherche, nous arrivons à un nombre de soixante à quatre-vingt volumes. En d’autres termes, deux étagères de livres feront l’affaire. C’est un nombre bien à la portée de la compréhension humaine ; il doit l’être. »
« Nous pouvons considérer nos soixante mille volumes comme un océan de connaissances, avec une profondeur moyenne de soixante à soixante-dix livres. À différents endroits de cet océan – c’est-à-dire pour les différentes spécialités à l’intérieur des mathématiques – nous pouvons faire un sondage ; l’étagère de soixante centimètres représentera l’éducation de base d’un spécialiste de cet endroit. Divisant 60 000 par 60, nous trouvons ainsi qu’il devrait y avoir au moins mille spécialités distinctes. Mais ceci est une sous-estimation, car beaucoup de livres apparaissent sur plusieurs listes de livres de base pour une spécialité…. (Une subdivision) fine montrerait que les textes mathématiques peuvent être divisés en plus de trois mille catégories. »
« Dans la plupart de ces trois mille catégories, de nouvelles mathématiques sont créées à un taux toujours croissant. L’océan s’étend, à la fois en profondeur et en largeur. »
Le dilemme d’Ulam -
« Nous employons l’expression «dilemme d’Ulam» pour la situation décrite brillamment par Stanislas Ulam dans son autobiographie, Aventures d’un mathématicien. " Dans une causerie que je fis…à Princeton, … j’ai brusquement commencé à estimer en silence dans ma tête combien de théorèmes sont publiés chaque année dans les journaux de mathématiques. J’ai fait un calcul mental et je suis arrivé à un nombre comme cent mille théorèmes par an. J’ai mentionné ceci à mon auditoire qui fut estomaqué. Le lendemain, deux jeunes mathématiciens parmi mes auditeurs vinrent me dire que, impressionnés par ce nombre énorme, ils avaient entrepris une recherche plus systématique et détaillée dans la bibliothèque de l’institut. En multipliant le nombre de journaux par la quantité de numéros par année, par le nombre d’articles par numéro et le nombre moyen de théorèmes par article, leur estimation approchait deux cents mille théorèmes par année. Si le nombre de théorèmes dépasse ce qu’il est possible d’examiner, à qui peut-on se fier pour avoir ce qui est «important» ? On ne peut avoir de survivance du plus apte s’il n’y a pas d’échange. Il est réellement impossible de suivre les progrès même des résultats les plus marquants et les plus intéressants…En mathématiques, on se trouve mariés à son petit domaine propre. À cause de cela, le jugement de valeur dans la recherche mathématique devient de plus en plus difficile, et la plupart d’entre nous deviennent principalement des techniciens. La variété des sujets sur lesquels travaillent les jeunes scientifiques croît exponentiellement… " »
« Tous les mathématiciens connaissent la situation décrite par Ulam. On ne peut voir un modèle cohérent de développement que dans la perspective étroite d’une spécialité donnée. Quels sont les problèmes dominants ? Quels sont les développements les plus récents ? Il est possible de répondre à de telles questions à l’intérieur d’une spécialité restreinte comme par exemple, " les équations aux dérivées partielles non linéaires elliptiques du second ordre ".»
« Mais poser les mêmes questions dans un contexte plus large est presque toujours inutile, pour deux raisons distinctes. Avant tout, il y a rarement une personne unique dominant les travaux récents dans plus de deux ou trois domaines. Une évaluation d’ensemble demande la synthèse des jugements de beaucoup de personnes différentes, dont certaines seront plutôt critiques, d’autres, bien disposées. Toutefois, même en l’absence de cette difficulté, même si nous avions des juges connaissant et comprenant les courants de la recherche dans toutes les mathématiques, nous rencontrerions une seconde difficulté : nous n’avons pas de critère explicite nous permettant de comparer les travaux dans des domaines bien séparés des mathématiques… Il est certain que 95% des mathématiciens professionnels sont incapables de se comprendre les uns les autres…»
« …Pouvons-nous établir des principes rationnels permettant de trier quelque 200 000 théorèmes par an ? Ou bien devons-nous simplement accepter qu’il n’est pas plus nécessaire de choisir parmi les théorèmes que parmi les espèces d’insectes. Aucun de ces points de vue n’est satisfaisant. Néanmoins, on prend des décisions tous les jours pour ce qui doit être publié et pour ce qui doit être subventionné….»
« Nous constatons que notre jugement sur ce qui est valable en mathématiques est fondé sur notre conception de la nature et du but des mathématiques elles-mêmes. »
Quel est le plafond de la production mathématique ? -
« Avec des milliards de bits d’information traités chaque seconde par les machines, et avec les 200 000 théorèmes mathématiques de la variété traditionnelle, faits à la main chaque année, il est clair que le monde est dans un âge d’or de la production mathématique. Que ce soit aussi un âge d’or pour de nouvelles idées mathématiques est une tout autre question… »
« … Il semble qu’il y ait une limite à la quantité de mathématiques vivantes que l’humanité peut soutenir à tout moment … »
« Jusqu’ici, l’expérience semble nous montrer qu’il y a deux sources inépuisables de nouvelles questions mathématiques. L’une de ces sources est le développement de la science et de la technologie. L’autre source provient des mathématiques elles-mêmes. Au fur et à mesure qu’il devient plus élaboré et plus complexe, chaque résultat nouveau et achevé devient le point de départ potentiel pour diverses recherches nouvelles. Des spécialités mathématiques apparemment non reliées posent un défi implicite : trouver une connexion féconde entre elles. »
« Bien que l’on doive s’attendre à ce que chaque domaine particulier des mathématiques vienne à être épuisé, et bien que la croissance exponentielle dans la production mathématique ne peut manquer de se calmer tôt ou tard, il est difficile de prévoir une fin pour toute la production mathématique, sinon dans le contexte d’une fin de la lutte générale de l’humanité pour davantage de savoir et davantage de pouvoir. Une telle fin peut en effet se produire un jour ou l’autre. Que cette fin soit un triomphe ou une tragédie, cela se trouve loin au-delà de tout horizon visible à présent. »
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« …Pouvons-nous établir des principes rationnels permettant de trier quelque 200 000 théorèmes par an ? Ou bien devons-nous simplement accepter qu’il n’est pas plus nécessaire de choisir parmi les théorèmes que parmi les espèces d’insectes. Aucun de ces points de vue n’est satisfaisant. Néanmoins, on prend des décisions tous les jours pour ce qui doit être publié et pour ce qui doit être subventionné….»
« Nous constatons que notre jugement sur ce qui est valable en mathématiques est fondé sur notre conception de la nature et du but des mathématiques elles-mêmes. »
Quel est le plafond de la production mathématique ? -
« Avec des milliards de bits d’information traités chaque seconde par les machines, et avec les 200 000 théorèmes mathématiques de la variété traditionnelle, faits à la main chaque année, il est clair que le monde est dans un âge d’or de la production mathématique. Que ce soit aussi un âge d’or pour de nouvelles idées mathématiques est une tout autre question… »
« … Il semble qu’il y ait une limite à la quantité de mathématiques vivantes que l’humanité peut soutenir à tout moment … »
« Jusqu’ici, l’expérience semble nous montrer qu’il y a deux sources inépuisables de nouvelles questions mathématiques. L’une de ces sources est le développement de la science et de la technologie. L’autre source provient des mathématiques elles-mêmes. Au fur et à mesure qu’il devient plus élaboré et plus complexe, chaque résultat nouveau et achevé devient le point de départ potentiel pour diverses recherches nouvelles. Des spécialités mathématiques apparemment non reliées posent un défi implicite : trouver une connexion féconde entre elles. »
« Bien que l’on doive s’attendre à ce que chaque domaine particulier des mathématiques vienne à être épuisé, et bien que la croissance exponentielle dans la production mathématique ne peut manquer de se calmer tôt ou tard, il est difficile de prévoir une fin pour toute la production mathématique, sinon dans le contexte d’une fin de la lutte générale de l’humanité pour davantage de savoir et davantage de pouvoir. Une telle fin peut en effet se produire un jour ou l’autre. Que cette fin soit un triomphe ou une tragédie, cela se trouve loin au-delà de tout horizon visible à présent. »
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(1) Philip Davis
(2) Reuben Hersh
(3) L'Univers mathématique, par Philip J. Davis et Reuben Hersh, Bordas, Paris, 1985, 406 pages.
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Dernière mise à jour: 12 février 2009
dimanche 1 février 2009
Extension du blog Le coin de Pierre
Bonjour à tous les internautes,
Le Coin de Pierre - Mathématiques appliquées est créé.
Vous pourrez y lire sous peu des articles didactiques et/ou de vulgarisation basés sur notre expertise propre ou trouvés sur le Web.
Toute personne versée dans le domaine pourront nous soumettre leurs textes, leurs critiques ou leurs commentaires.
Vous pourrez visiter ce blog régulièrement pour vous tenir au courant de ce qui y est publié.
Bien cordialement,
Dr. Pierre Montès
1er février 2009
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Dr. Pierre Montès
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