Probabilités pour ingénieurs et pour presque tous les non mathématiciens (1.3)

Chapitre 1.- Quelques notions de base

1. Introduction
2. Définition de quelques termes reliés aux ensembles et aux probabilités
3. La probabilité d'un événement et sa détermination
4. L'espace échantillonnal fini et son dénombrement
5. Les probabilités conditionnelles
6. Les expériences statistiquement indépendantes et les événements indépendants
7. La partition de l'espace échantillonnal, la loi de probabilité totale et le théorème de Bayes
   
   ***********************************************
   

LEÇON 1.3 - Les Probabilités et leur détermination

Dans cette troisième leçon le lecteur commencera à se familiariser avec la définition rigoureuse de la probabilité d'un événement, les propriétés de cette probabilité et quelques théorèmes utiles. Plus précisément, les points suivants seront étudiés:

1. Définition de la probabilité d’un événement.
2. Propriétés de la probabilité d’un événement.
3. Notion de fréquence relative d’un événement.
4. Un moyen de calculer la probabilité d’un événement.
5. Quelques théorèmes utiles.
   

Dans cette leçon S désignera l'espace échantillonnal associé à l'expérience aléatoire. Voir Leçon 1.2

1.3.1 Définition de la probabilité d’un événement.

On définit une probabilité comme une fonction dont le domaine est un ensemble d’événements et l’image est un ensemble de nombres réels compris entre 0 et 1.
Soit A un événement du domaine de la fonction. L’image que la fonction de probabilité associé à l’événement A que l’on notera P(A) est la probabilité de l’événement A.


Définition.-

Soit A un événement du domaine de la fonction. L’image que la fonction de probabilité associé à l’événement A que l’on notera P(A) est la probabilité de l’événement A.


1.3.2 Propriétés de la probabilité d’un événement.

Propriétés de P(.) :

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1, pour tout A de S.
2. P(S) = 1.
3. Pour tout nombre fini A1, A2, …, Ak, d’événements mutuellement exclusifs définis dans S, on a :
   P(A1 U A2 U … U Ak ) = ∑ P(Ai), i allant de 1 à k.
4. Pour une suite A1, A2, A3, … dénombrable d’événements mutuellement exclusifs définis dans S, on a :
   P(A1 U A2 U A3 U … ) = ∑ P(Ai), i entier allant de 1 à ∞.
   
   

1.3.3 La notion de fréquence relative d’un événement.

Pour illustrer la détermination des probabilités, on imagine la répétition d’une expérience et la fréquence relative de l’occurrence d’un événement particulier.
Soit une expérience aléatoire E répétée m fois et deux événements A et B. Soit mA et mB le nombre de répétitions de A et de B à l’intérieur de m répétitions.

Définition.-

Soient fA = mA/m et fB = mB/m les fréquences relatives des événements A et B. On a par exemple :

1. 0 ≤ fA ≤ 1.
2. fA = 0, si et seulement si l’événement A ne se produit jamais;
   fA = 1, si et seulement si l’événement A se produit à chaque répétition.
3. fA U B = fA + fB si les événements A et B sont mutuellement exclusifs.
   

Lorsque m devient élevé, fA tend à se stabiliser. La notion de fréquence relative et la tendance à la stabilisation de cette fréquence sont à la base d’une méthode permettant d’attribuer une probabilité à un événement.

Par exemple, soit E une expérience aléatoire d’espace échantillonnal S. Si fA, la fréquence relative d’un événement A tend vers une limite pA quand le nombre de répétitions augmente, on peut considérer pA comme la probabilité de A :

lorsque m → ∞, P(A) = lim (mA/m) = lim fA = pA (eq. 3.1)

En pratique, le nombre de répétitions est limité.


1.3.4 Un moyen de calculer la probabilité d’un événement.

On suppose que l’espace échantillonnal comporte un nombre fini n d’éléments ei et que la probabilité attribuée à un résultat est :
pi = P(Ei) avec Ei = {ei} ;
et
pi ≥ 0 , i = 1, 2, …, n;
p1 + p2 + … + pn = 1, ou ∑ pi = 1, i allant de 1 à k.
Alors :
P(A) = ∑ pi , i étant tel que ei ε A (eq. 3.2)

Si l’espace échantillonnal S n’est pas fini, mais comporte une infinité dénombrable d’éléments ei, alors :
pi ≥ 0 , i = 1, 2, … ; ∑ pi = 1, i entier allant de 1 à ∞.
Mais on a encore :
P(A) = ∑ pi, i étant tel que ei ε A (eq. 3.3)


Exemple C1.L3.1
Si l’espace échantillonnal S est fini et contient n résultats équiprobables tels que :
p1 = p2 = … = pn = 1/n
Et si l’événement A renferme n(A) résultats possibles, alors on a :
P(A) = n(A)/n

On établira dans la Leçon 4 des méthodes de dénombrement pouvant servir à déterminer n et n(A).

Exemple C1.L3.2

Soit une pièce de monnaie équilibrée jetée en l’air à trois reprises; on note à chaque fois sur quel côté elle tombe. L’espace échantillonnal de cette expérience noté S s’écrit :
S = {PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF}
On a :
e1 = PPP; e2 = PPF; etc.
Chaque résultat i a une probabilité pi.
E1 = {e1}; E2 = {e2}; etc. et leurs probabilités sont : pi = 1/8 (résultats équiprobables).
Soit A l’événement «la pièce de monnaie tombe à chaque fois sur le même côté». On a alors :
A = {PPP, FFF} et P(A) = 1/8 + 1/8 = 2/8 = 1/4
( P(A) = n(A)/n = 2/8 = 1/4 )


1.3.5 Quelques théorèmes utiles.

Théorème 1.1 .- Si Ø est l’ensemble vide, alors P(Ø) = 0.

Preuve.-

Soit S l’espace échantillonnal associé à l’expérience en cause. On peut écrire : S = S + Ø. Les ensembles S et Ø étant mutuellement exclusifs, les propriétés 2 et 4 de la définition d'une probabilité permettent d’écrire :
1 = P(S) = P(S U Ø) = P(S) + P(Ø) → P(Ø) = 0.


Théorème 1.2 .- A’ étant le complémentaire de A dans S, alors: P(A’) = 1-P(A).

Preuve.-

Soit S l’espace échantillonnal associé à l’expérience étudiée, soit A un événement de S. A’ étant le complémentaire de A dans S, on peut écrire : S = A U A’. De plus A et A’ étant mutuellement exclusifs, la propriété 4 de la définition d'une probabilité permet d’écrire :
1 = P(S) = P(A U A’) = P(A) + P(A’) → P(A’) = 1 – P(A).

Théorème 1.3 .- A et B étant deux événements quelconques de S, on a :
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

Preuve.-

On peut vérifier cette relation à l’aide d’un diagramme de Venn. On peut y constater qu’il faut retrancher P(A ∩ B) de la somme P(A) + P(B) pour ne pas compter deux fois la probabilité de l’intersection de A et B. Une démonstration plus rigoureuse du théorème 1.3 sera demandée en exercice.

Théorème 1.4 .- A, B et C étant trois événements quelconques de S, on a :
P(A U B U C) = P(A) + P(B)+ P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C).

Preuve.-

On peut poser X = A U B, écrire A U B U C = (A U B) U C = X U C, puis appliquer le théorème 1.3 aux événements X et C. Un diagramme de Venn peut aider à suivre les étapes de la démonstration ou à vérifier le théorème.


Théorème 1.5 .- Soit A la réunion de N événements A1, A2, …, AN :
A = A1 U A2 U…U AN.
P(A) est la probabilité de réalisation d’au moins un événement parmi les N événements A1, A2, …, AN.
On note :
pi = P(Ai); pij = P(Ai ∩ Aj); pijk = P(Ai ∩ Aj ∩ Ak); …
On définit :
S1 = ∑ pi; S2 = ∑ pij; S3 = ∑ pijk; …

avec i inférieur à j inférieur à k inférieur à ... inférieur ou égal à N.

La probabilité de A est donnée par :
P(A) = P(A1 U A2 U…U AN ) = S1 –S2 + S3 – S4 + ... ± SN = ∑ Si*(-1)^(i-1), i allant de 1 à N; dans la sommation, le symbole "^" signifie que (i-1) est l'exposant de (-1).

Preuve.-
Voir par exemple, Feller, tome I, pages 99-100. À la fin de la leçon 4, le lecteur sera en mesure de comprendre la preuve fournie dans Feller. Par ailleurs, une démonstration par induction est sans doute possible.

Remarque.- Les théorèmes 1.3 et 1.4 sont deux cas particuliers du théorème 1.5. Le théorème 1.3 correpond à N=2 tandis que le théorème 1.4 correspond à N=3.
En effet, pour N=2, on a :
P(A) = P(A1 U A2) = S1 – S2 = ( P(A1) + P(A2) ) – ( P(A1 ∩ A2) ).
Pour N=3, on a:
P(A) = P(A1 U A2 U A3 ) = S1 – S2 + S3 =
=(P(A1) + P(A2)+ P(A3)) – ((P(A1 ∩ A2) + P(A2 ∩ A3) + P(A3 ∩ A1) ) + P(A1 ∩ A2 ∩ A3).


Théorème 1.6.- A et B étant deux événements quelconques de S,
si A est inclus dans B, alors, P(A) ≤ P(B).

Preuve.-
Soit A et B deux événements de S tels que A soit inclus dans B. Soit A’ le complémentaire de A dans S. On a alors :
B = A U (A’ ∩ B)
Les événements A et (A’ ∩ B) étant mutuellement exclusifs, on peut écrire :
P(B) = P(A) + P(A’ ∩ B) ≥ P(A) car P(A’ ∩ B) ≥ 0.

Fin de la Leçon 1.3

Références utilisées

1. Hines, William W., Montgomery, Douglas C., Goldsman, David M., Borror, Connie M. (2005) Probabilités et statistique pour ingénieurs, Les Éditions de la Chenelière, 597 p., traduction de Probability and statistics in engineering, Fourth Edition, Wiley 2003 des mêmes auteurs et du chapitre 7 de Introduction to Statistical Quality Control, Fourth Edition, Montgomery, Douglas C., Wiley 2001.
2. Rumsey, Deborah (2006) Probability for Dummies, Wiley, 358 p.
3. Feller, William (1967) An Introduction to Probability Theory and its Applications, Volume I, Third Edition, Revised Printing (1970), Wiley, 509 p.
4. Moi-même.
   

Probabilités pour ingénieurs et pour presque tous les non mathématiciens (1.2)

Chapitre 1.- Quelques notions de base

1. Introduction
2. Définition de quelques termes reliés aux ensembles et aux probabilités
3. La probabilité d'un événement et sa détermination
4. L'espace échantillonnal fini et son dénombrement
5. Les probabilités conditionnelles
6. Les événements indépendants
7. La partition de l'espace échantillonnal, la loi de probabilité totale et le théorème de Bayes
   
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   LEÇON 1.2 - Définition de quelques termes reliés aux ensembles et aux probabilités
   
   Dans cette deuxième leçon le lecteur maîtrisera le sens des termes définis dans les quatre questions suivantes :

1. Expérience aléatoire, espace échantillonnal, événement.
2. Espace échantillonnal fini, espace échantillonnal infini dénombrable, espace échantillonnal indénombrable.
3. Ensemble vide, réunion, intersection, complémentaire.
4. Diagramme de Venn.

1.2.1 Expérience aléatoire, espace échantillonnal, événement.

Dans la leçon précédente, on a commencé à se faire une idée de ce que sont une expérience aléatoire, un événement. Nous allons ici définir plus systématiquement ces termes et d’autres.

Les probabilités ont leurs propres notations, leurs propres symboles, leurs propres définitions. Ce sont des outils qui permettent de synthétiser les concepts.

Tout problème de probabilité est posé en commençant par définir l’information disponible et les quantités à estimer.

Expérience aléatoire.- La théorie des probabilités est née de situations de la vie courante dans lesquelles une expérience est réalisée et l’expérimentateur en observe le résultat. Ce genre d’expériences s’appelle expérience aléatoire. On peut décrire avant l’expérience, l’ensemble des résultats possibles.

Espace échantillonnal.- L’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire constitue l’espace échantillonnal.

Une probabilité est la chance qu’un certain résultat se produise parmi tous les résultats possibles pour un processus aléatoire donné. Le processus est dit aléatoire parce que vous conduisez une expérience, ou vous collectez des données, et vous ne savez pas quels résultats vont se présenter à vous à un moment donné, même si vous connaissez à l’avance l’ensemble des résultats possibles associés à l’expérience en question. Donc avant de faire l’expérience, vous déterminez la liste complète des résultats possibles, c’est-à-dire, l’espace échantillonnal que l’on note S. Il s’agit d’un ensemble.

Exemple C1.L2.1

Si le processus aléatoire (expérience) consiste à lancer un dé en l’air, les six résultats possibles forment l’espace échantillonnal :
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Événement.- Un sous-ensemble d’un espace échantillonnal donné S est appelé un événement et est noté par une lettre majuscule A, B, C, D, etc.

Exemple C1.L2.2

Étant donné l’expérience aléatoire consistant à lancer en l’air un dé une fois et dont l’espace échantillonnal est : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, l’événement A : «Le résultat du lancer est un nombre impair» se note : A = {1, 3, 5}. L’événement B : «Le résultat est un nombre plus grand que 2 mais différent de 5» se note : B = {3, 4, 6}.


1.2.2 Espace échantillonnal fini, espace échantillonnal infini dénombrable, espace échantillonnal indénombrable.-

Espace échantillonnal fini.-

Si l’on peur écrire et compter tous les éléments d’un espace échantillonnal S, on dit qu’il est un espace échantillonnal fini. L’ensemble S de l’exemple C1.L2.1 est un ensemble fini.

Exemple C1.L2.3

On jette en l’air à trois reprises une même pièce de monnaie équilibrée et l’on note à chaque fois sur quel côté elle tombe. L’espace échantillonnal s’écrit :
S = {PPP, PPF, PFP, PFF, FPF, FPP, FFP, FFF}.

Exemple C1.L2.4

On jette en l’air à trois reprises une même pièce de monnaie équilibrée et l’on note combien de fois elle tombe sur le côté face. L’espace échantillonnal s’écrit :
S = {0, 1, 2, 3}.

Espace échantillonnal infini dénombrable.-

L’espace échantillonnal est infini dénombrable si l’on dispose d’un moyen de montrer la progression des résultats (éléments) à partir des premiers résultats (discrets) mais le nombre total des résultats (éléments) est infini.

Exemple C1.L2.5

À l’aide d’un moniteur, on compte les radiations émises par une source radioactive dans un intervalle d’une minute. On a dans ce cas l’espace échantillonnal :
S = {0, 1, 2, 3,…}.
Il s’agit ici d’un espace échantillonnal infini dénombrable.

Espace échantillonnal indénombrable.-

L’espace échantillonnal est non dénombrable ou indénombrable si l’on a une situation où les résultats possibles sont trop nombreux et l’on ne peut les écrire dans une liste; on a alors recours à un intervalle pour décrire complètement les éléments de cet ensemble.

Exemple C1.L2.6

Par un certain procédé, on fabrique quotidiennement dans une usine un volume d’un certain produit mesuré suivant une certaine unité. La production journalière varie entre un minimum noté a et un maximum noté b. On choisit une journée au hasard et l’on note la quantité x produite cette journée-là. On a alors l’espace échantillonnal indénombrable suivant :
S = {x : x ε R, a ≤ x ≤ b}.

1.2.3 Ensemble vide, réunion, intersection, complémentaire

Ensemble vide

Si un événement ou un sous-ensemble d’un espace échantillonnal S ne contient aucun résultat, cet événement est un ensemble vide et est noté Ø.

Exemple C1.L2.7

On considère deux événements tirés de l’espace échantillonnal de l’exemple C1.L2.1 :
A = {1, 2, 3} et B = {4, 5, 6} sous-ensembles de S;
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Les événements A et B n’ont aucun élément en commun. L’ensemble des éléments communs à A et à B est l’ensemble vide Ø.

Réunion et Intersection

On considère l’expérience du lancer d’un dé. Soit l’événement A : «le dé tombe sur une face supérieure ou égale à 3» et l’événement B : «le dé tombe sur une face impaire». On a :
A = {3, 4, 5, 6} et B = {1, 3, 5}.

La réunion des ensembles A et B se note A U B et s’écrit :
A U B = {1, 3, 4, 5, 6}.

L’intersection des ensembles A et B se note A ∩ B et s’écrit :
A ∩ B = {3, 5}.
Si deux ensembles n’ont aucun élément en commun, leur intersection est l’ensemble vide.


Complémentaire

On considère à nouveau l’expérience du lancer d’un dé et l’événement B = {1, 3, 5}. Le complémentaire de B dans l’espace échantillonnal S (voir l’exemple C1.L2.1) est formé des éléments de S qui n’appartiennent pas à B. Il se note B’ et s’écrit : B = {2, 4, 6}. C’est l’événement : «le dé tombe sur une face paire».


1.2.4 Diagramme de Venn

Une manière de représenter l’information reliée à un problème de probabilité est d’illustrer par un schéma : l’espace échantillonnal, tous les événements impliqués et tous les sous-ensembles qui sont formés quand des événements se recoupent.

L’un des schémas les plus utilisés pour représenter l’espace échantillonnal et les événements est le diagramme de Venn.

Un diagramme de Venn est un schéma dans lequel un grand rectangle représente l’espace échantillonnal S, des cercles (toutes autres surfaces limitées par une ligne fermée) représentent les divers événements impliqués dans le problème étudié.

Les diagrammes de Venn peuvent être utilisés pour organiser et visualiser des relations entre événements, pour déterminer des probabilités au-delà de celles qui sont données au départ.

Si deux événements ont une intersection non vide, leurs cercles se chevauchent.

Diagramme de Venn de deux événements A et B ayant une intersection non vide

Si deux événements sont mutuellement exclusifs, leurs cercles ne se coupent pas : leur intersection est un événement impossible.

Si deux événements sont mutuellement exclusifs, l’occurrence de l’un empêche celle de l’autre : l’occurrence des deux événements simultanément est impossible.

Diagramme de Venn de trois évennements A, B et C mutuellement exclusifs

Si deux événements sont collectivement exhaustifs, leur réunion est l’espace échantillonnal S tout entier.

Diagramme de Venn de quatre événements A, B, C et D mutuellement exclusifs et collectivement exhaustifs.

Fin de la Leçon 1.2


Références utilisées dans la préparation de cette leçon:

1. Hines, William W., Montgomery, Douglas C., Goldsman, David M., Borror, Connie M. (2005) Probabilités et statistique pour ingénieurs, Les Éditions de la Chenelière, 597 p., traduction de Probability and statistics in engineering, Fourth Edition, Wiley 2003 des mêmes auteurs et du chapitre 7 de Introduction to Statistical Quality Control, Fourth Edition, Montgomery, Douglas C. Wiley 2001.

2. Rumsey, Deborah (2006) Probability for Dummies, Wiley, 358 p.

3. Moi-même.
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Mise à jour 21 juin 2010