Chapitre 1.- Quelques notions de base
- Introduction
- Définition de quelques termes reliés aux ensembles et aux probabilités
- La probabilité d'un événement et sa détermination
- L'espace échantillonnal fini et son dénombrement
- Les probabilités conditionnelles
- Les expériences statistiquement indépendantes et le événements indépendants
- La partition de l'espace échantillonnal, la loi de probabilité totale et le théorème de Bayes
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LEÇON 1.4 - Espace échantillonnal fini et son dénombrement
Dans cette quatrième leçon le lecteur commencera à se familiariser avec les notions suivantes:
- Les diagrammes en arbre.
- Le principe de multiplication.
- Les pemutations.
- Les combinaisons.
- Les permutations d’objets semblables.
- L'échantillonnage hypergéométrique.
1.4.1 Les diagrammes en arbre.
Le diagramme en arbre peut être utilisé pour faciliter le dénombrement de l’espace échantillonnal.
Par exemple, on lance en l’air à trois reprises une pièce de monnaie équilibrée. Il y a deux résultats possibles à chacun des trois lancers successifs. Le diagramme en arbre suivant montre les différents résultats possibles après trois lancers. Il permet de définir une fois pour toutes l’ensemble des résultats possibles en suivant chacun des trajets du diagramme en arbre.
Il y a un total de 2^3 = 8 résultats possibles.
L’espace échantillonnal s’écrit :
S = {PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF}
1.4.2 Le principe de multiplication.
On considère les ensembles A1, A2, …, Ak ayant pour nombres d’éléments (cardinaux):
n1, n2, … , nk.
On forme un k-tuplet : (xA1, xA2, …, xAk) dont chacune des coordonnées xAi
provient de chacun des ensembles Ai.
On forme l’ensemble produit cartésien B tel que :
B = A1 x A2 x … x Ak = {( xA1, xA2, …, xAk) : xA1 ε A1, xA2 ε A2, ..., xAk ε Ak }
Le cardinal de B est le nombre de façons différentes de choisir un k-tuplet.
Soit n(B) le cardinal de B. On a:
n(B) = n1 x n2 x … x nk
Si n1 = n2 = … = nk = n, alors : n(B) = n^k, c'est-à-dire n exposant k.
1.4.3 Les permutations.
Une permutation est un arrangement ordonné d’objets distincts.
On considère les permutations de n objets distincts pris r à la fois (r ≤ n). On note le nombre de permutations par Pn;r. On veut calculer Pn;r en fonction de n et de r.
Il y a n façons différentes de choisir sans remise le premier objet parmi les n objets distincts; ce premier objet étant choisi et retiré du lot, il reste alors (n-1) objets.
Il y a (n-1) façons de choisir le 2e objet sans remise; ce deuxième objet étant choisi et retiré du lot, il reste (n-2) objets.
On continue ainsi jusqu’au (r-1) ième objet. Et il reste à choisir le r ième objet.
Il y a (n-r+1) façons de choisir le r ième objet sans remise; il reste alors (n-r) objets.
En vertu du principe de multiplication, le nombre de permutations possibles de n objets pris r à la fois est donc :
Pn;r = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!
1.4.4 Les combinaisons.
Une combinaison est un arrangement d’objets distincts tels que :
• l’ordre n’a pas d’importance
• deux combinaisons sont différentes si leur contenu n’est pas le même.
On considère les combinaisons de n objets distincts pris r à la fois (r ≤ n). On note le nombre de combinaisons par Cn;r.
On veut trouver Cn;r en fonction de n et de r.
Soit A un ensemble de n éléments distincts.
Soit Bi l’un des sous-ensembles de A ayant r éléments distincts, i = 1, 2, …, Cn;r.
Bi ≠ Bj, si i ≠ j.
Cn;r = cardinal de {B1, B2, …, BCn;r }.
Le nombre de permutations des r éléments d’un seul sous-ensemble Bi est :
r(r-1)(r-2) … 2 . 1 = r!
Le nombre total de permutations des r éléments de tous les Cn,r sous-ensembles Bi est :
Pn;r = r! Cn;r
D’où :
Cn;r = n!/((n-r)!r!)
1.4.5 Les permutations d’objets semblables.
Soit A l’ensemble de n objets distincts répartis en k classes d’objets semblables (indiscernables).
On a :
A = A1 U A2 U … U Ak, les Ai sont 2 à 2 disjoints.
N = n1 + n2 + … + nk, ni = nombre d’éléments semblables (indiscernables) de Ai.
Le nombre total de permutations des n éléments de A, s’ils étaient tous discernables, serait :
Pn;n = n!
Si les ni éléments de Ai étaient discernables, le nombre de permutations de ces ni objets serait :
Pni;ni = ni!
Pni;ni est le nombre de fois que l’on trouve dans les Pn,n permutations, les ni objets indiscernables dans le «même» ordre puisqu’on est incapable de discerner les ni objets de Ai les uns des autres.
Donc Pni;ni est un facteur de Pn;n. Et cela est vrai pour chacun des Ai, i = 1, 2, …, k.
On peut alors décomposer Pn;n en facteurs et l’écrire sous la forme :
Pn;n = Pn1;n1 . Pn2;n2 . … . Pnk;nk . Q
où Q représente le nombre de permutations des n objets contenant k classes d’objets indiscernables.
On remplace Q par Pn; n1,n2,…,nk. D’où :
Pn; n1,n2,…nk = n!/(n1! n2! … nk!)
1.4.6 L'échantillonnage hypergéométrique.
On considère une population de taille N (un ensemble de N objets (unités)).
Des N unités, D unités appartiennent à une classe donnée, par exemple, D unités défectueuses.
On veut tire de la population de taille N, un échantillon (un sous-ensemble) de taille n, au hasard et sans remise.
On considère l’événement A : «l’échantillon de taille n choisi renferme exactement r éléments appartenant à la classe donnée (unités défectueuses)».
On veut trouver la probabilité de l’événement A, ce que l’on va faire ci-après.
Le nombre d’échantillons possibles (différents) de taille n que l’on peut tirer de la population de taille N est : Cn;n.
De ces Cn;n échantillons possibles, quel est le nombre de cas favorables à l’événement A ?
La réponse à cette question s’obtient de la façon suivante.
Le nombre de choix différents de (n-r) éléments tirés parmi les (N-D) unités n’appartenant pas à la classe donnée (unités non défectueuses) est : C(N-D); (n-r).
Le nombre de choix de r éléments différents tirés parmi les D unités appartenant à classe donnée (unités défectueuses) est : CD;r.
Par conséquent, le nombre d’échantillons différents de taille n contenant exactement r unités appartenant à la classe donnée (unités défectueuses) et (n-r) unités n’appartenant pas à cette classe (unités non défectueuses) est : (CD;r ) . (C(N-D); (n-r)). C’est le nombre de cas favorables à l’événement A.
On peut donc calculer la probabilité de l’événement A :
P(A) = (CD;r) . (C(N-D; (n-r) ) / CN;n
Dans cette relation, étant donné la valeur de n, alors r peut prendre l'une des valeurs suivantes: max {0, (n+D-N)}, …, min {n, D}.
Fin de la leçon 1.4
Références utilisées
- Hines, William W., Montgomery, Douglas C., Goldsman, David M., Borror, Connie M. (2005) Probabilités et statistique pour ingénieurs, Les Éditions de la Chenelière, 597 p., traduction de Probability and statistics in engineering, Fourth Edition, Wiley 2003 des mêmes auteurs et du chapitre 7 de Introduction to Statistical Quality Control, Fourth Edition, Montgomery, Douglas C., Wiley 2001.
- Rumsey, Deborah (2006) Probability for Dummies, Wiley, 358 p.
- Moi-même.
