Chapitre 1.- Quelques notions de base
- Introduction
- Définition de quelques termes reliés aux ensembles et aux probabilités
- La probabilité d'un événement et sa détermination
- L'espace échantillonnal fini et son dénombrement
- Les probabilités conditionnelles
- Les expériences statistiquement indépendantes et les événements indépendants
- La partition de l'espace échantillonnal, la loi de probabilité totale et le théorème de Bayes
- Problèmes
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1.8 - Problèmes
- Un ouvrage en quatre volumes est placé dans un ordre aléatoire sur un rayon d’une bibliothèque. Quelle est la probabilité que les quatre volumes soient placés dans le bon ordre de gauche à droite ou de droite à gauche ? D’après Y.A. Rozanov. (Réponse : 1/12).
- Un cube en bois dont les faces sont peintes est scié en 1000 petits cubes de même taille. Les 1000 petits cubes sont ensuite placés dans une urne et mélangés. On tire alors un cube au hasard dans l’urne. Quelle est la probabilité que le cube choisi ait juste deux faces peintes ? ? D’après Y.A. Rozanov. (Réponse : 0,096).
- Un lot de n articles manufacturés contient k articles défectueux. On choisit au hasard m articles du lot. Quelle est la probabilité que l de ces m articles soient défectueux ? ? D’après Y.A. Rozanov.
- Dix livres sont placés dans un ordre aléatoire sur un rayon d’une bibliothèque. Quelle est la probabilité que trois livres donnés soient placés cote à cote ? D’après Y.A. Rozanov. (Réponse : 1/15).
- Un franc-tireur a 80% de chance d’atteindre une cible, tandis qu’un autre franc-tireur a 70% de chance d’atteindre la cible. Quelle est la probabilité pour la cible d’être atteinte (au moins une fois) si les deux francs-tireurs tirent sur la cible simultanément ? D’après Y.A. Rozanov. (Réponse : 0,94).
- N personnes s’assoient de manière aléatoire et indépendante les unes des autres dans un auditorium ayant N+K sièges. Quelle est la probabilité que M sièges spécifiés à l’avance (M ≤ N) soient occupés ? D’après Y.A. Rozanov.
- Trois cartes sont tirées au hasard d’un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité de tirer à la fois un3, un 7 et un as ? D’après Y.A. Rozanov.
- Quelle est la probabilité de pouvoir construire un triangle dont les trois côtés sont choisis au hasard d’un lot de cinq segments de longueurs 1, 3, 5, 7 et 9 ? (Indice : Dans un triangle chaque côté est inférieur à la somme des deux autres côtés). D’après Y.A. Rozanov.
- On choisit au hasard un nombre entre 1 et 1000. Quelle est la probabilité que les deux derniers chiffres du cube de ce nombre soient 1 ? D’après Y.A. Rozanov. (Réponse : 0,01).
- Déterminer la probabilité qu’un nombre entier non négatif (formé d’un chiffre) aléatoirement choisi donnera un résultat se terminant par un 1 :
(a) s’il est élevé au carré;
(b) s’il est élevé à la puissance quatre;
(c) s’il est multiplié par un entier positif arbitraire.
D’après Y.A. Rozanov. (Réponse : (a) 0,2; (b) 0,4; (c) 0,04). - On forme une fraction de la façon suivante. Le numérateur est choisi au hasard parmi les huit nombres suivants : 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13. Puis le dénominateur est formé en choisissant l’un des sept nombres restants. Quelle est la probabilité pour la fraction ainsi obtenue d’être irréductible ? s’il est multiplié par un entier positif arbitraire. D’après Y.A. Rozanov. (Réponse : 9/14).
- Chacune des six lettres du mot « drawer» est écrite sur un carton. Les cartons sont ensuite placés les uns à la suite des autres aléatoirement. Quelle est la probabilité que le mot formé soit «reward» ? D’après Y.A. Rozanov. (Réponse : 1/360).
- Un jeu de 52 cartes est divisé au hasard en deux paquets de 26 cartes. Quelle est la probabilité que chaque paquet contienne le même nombre de cartes rouges et de cartes noires ? D’après Y.A. Rozanov. (Réponse : 0,218).
- Au sénat américain, estimer la probabilité que tous les 50 états soient représentés dans un comité de 50 sénateurs choisis au hasard. D’après Y.A. Rozanov.
- On lance en l’air trois dés équilibrés. On fait la somme des nombres indiqués par la face sur laquelle tombent les trois dés. Quelles sont les probabilités que cette somme soit : 3, 4, 5, …, 18 ? D’après M.G. Bulmer. (Problème considéré par Galilée) (Réponse : (1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25, 21, 15, 10, 6, 3, 1) x 1/216).
- Trois personnes se rencontrent par hasard. Quelles sont les probabilités que (a) aucune d’elles, (b) deux d’entre elles, (c) toues les trois, aient la même date d’anniversaire ? D’après M.G. Bulmer. (Réponse : (a) 364x363/365x365; (b) 3x364/365x365; (c) 1/365x365).
- Une classe de 10 étudiants est composée de 6 hommes et 4 femmes. Trouver le nombre de manières :
(a) de former un comité de 4 membres
(b) de former un comité de quatre membres composé de 2 hommes et 2 femmes.
(c) la classe peut élire un président, un vice-président, un trésorier et un secrétaire.
D’après S. Lipschutz et M. Lipson. (Réponse : (a) 210; (b) 90; (c) 360). - Dans un party, il y a exactement n couples. (a) Trouver le nombre N de pairs de personnes possibles. (b) On suppose que chaque membre d’un couple serre la main à chacun des membres d’un couple autre que le sien. Quel est le nombre M d’échanges de poignée de mains ? D’après S. Lipschutz et M. Lipson. (Réponse : (a) N= n(2n-1); (b) M=2n(n-1)).
- Déterminer la probabilité que n personnes (n≤ 365) choisies au hasard ont n dates de naissance différentes. D’après M.R. Siegel et al. (Réponse : (1-1/365)(1-2/365)…(1-(n-1)/365)).
- Un transporteur routier doit acheminer des marchandises de la ville W à la ville Z. Aucune route ne relie directement la ville W à la ville Z, mais il y a six routes reliant la ville W à la ville X et cinq routes reliant la ville X à la ville Z. Combien y a-t-il d’itinéraires possibles ? D’après W.W. Hines et al. (Réponse : 30 itinéraires).
- Il y a un million de véhicules immatriculés dans pays donné. On désire utiliser des plaques d’immatriculation portant trois lettres suivies de trois chiffres. Un tel projet est-il faisable ? D’après W.W. Hines et al. (Réponse : 17 576 000 plaques possibles; projet faisable).
- Soit un lot de 100 unités. On sait que 20 unités sont défectueuses. On tire quatre unités au hasard sans remise. Quelle est la probabilité que cet échantillon ne renferme pas plus de deux unités défectueuses ? D’après W.W. Hines et al. (Réponse : 0,97).
- On choisit un point au hasard à l’intérieur d’un cercle. Quelle est la probabilité que ce point soit situé plus près du centre que de la circonférence ? D’après W.W. Hines et al. (Réponse : 0,25).
- Tout accident d’avion fait l’objet d’une enquête approfondie. S’il résulte d’une défaillance de structure, la probabilité que les experts le reconnaissent est de 0,90. Si sa cause est autre, la probabilité qu’on l’attribue à tort à une défaillance de structure est de 0,20. Sachant que 25% de tous les accidents d’avion résultent d’une défaillance de structure, déterminer la probabilité qu’il s’agisse bien de la cause d’un accident ayant été attribué à une telle défaillance. Suggestion : un diagramme en arbre facilite le raisonnement. D’après W.W. Hines et al. (Réponse : 0,60).
Références utilisées
- Hines, W.W., Montgomery, D.C., Goldsman, D.M., Borror, C. M. (2005) Probabilités et statistique pour ingénieurs, Les Éditions de la Chenelière, 597 p., traduction de Probability and statistics in engineering, Fourth Edition, Wiley 2003 des mêmes auteurs et du chapitre 7 de Introduction to Statistical Quality Control, Fourth Edition, Montgomery, Douglas C. Wiley 2001.
- Rozanov, Y.A. (1969) Probability Theory, A concise course, Dover, 148 p.
- Bulmer, M.G. (1979) Principles of Statistics, Dover, 252 p.
- Spiegel, M.R., Schiller, J., Srinivasan, R. A. (2000), Probability and Statistics, second edition, Schaum series, 408 p.
- Lipschutz, S. and Lipson, M. (2000), Probability, second edition, Schaum series, 311 p.
- Moi-même.
