LCDP-Mathématiques appliquées, lundi 17 janvier 2011.
Mise à jour: 23 janvier 2011.
Une mission d'experts de l'OEA a révisé, début janvier, les résultats du premier tour publiés par le CEP le 7 décembre 2010. On attend que le CEP publie les résultats définitifs du premier tour des présidentielles en tenant compte des recommandations de l'OEA. Selon les résultats révisés par les experts de l'OEA, malgré le faible écart de 3225 voix qui sépare les candidats Michel Martelly et Jude Célestin, reclassés deuxième et troisième respectivement, loin derrière la candidate Mirlande Manigat, classée première, la statistique mathématique ne permet pas de considérer que les candidats Martelly et Célestin soient à égalité.
L'OEA, dans un rapport de 37 pages remit au gouvernement d'Haïti le jeudi 13 janvier 2011, a montré, chiffres à l'appui, que Michel Martelly n'est pas 3e comme l'avait publié initialement le CEP, mais il est bel et bien 2e au premier tour. Le rapport a montré que Jude Célestin n'est pas 2e comme l'avait publié initalement le CEP, mais il est tout au plus 3e et donc certainement pas 2e. Des fraudes massives et flagrantes en faveur de Jude Célestin avaient été largement dénoncées le 28 novembre 2010, le jour du scrutin, et aussi par la suite. Le rapport de l'OEA confirme que Mirlande Manigat est bien première au premier tour. L'écart entre Martelly et Célestin qui était de 6845 voix en faveur de Célestin, selon les chiffres du CEP publiés le 7 décembre dernier, est passé à 3225 voix en faveur de Martelly.
Aux élections présidentielles 2010, le nombre d’électeurs potentiels est, selon le CEP, estimé à 4 712 693.
Résultats préliminaires publiés par le CEP le 7 décembre 2010.-
Au premier tour des élections réalisé le 28 novembre 2010, selon les données du CEP, n = 1 074 056 électeurs avaient voté pour les 19 candidats à la présidence.
Les trois candidats arrivant en tête et se démarquant des 16 autres, sont :
1. Mirlande Manigat, 1ère, avec X1= 336 878 voix, ou en proportion p1 = X1/n = 0,3137.
2. Jude Célestin, 2eme, avec X2 = 241 462 voix, ou en proportion p2 = X2/n = 0,2248.
3. Michel Martelly, 3eme, avec X3 = 234 617 voix, ou en proportion p3 = X3/n = 0,2184.
Nous avons montré le 16 décembre dernier (voir article LCDP-Mathématiques appliquées) que, statistiquement parlant, Célestin et Martelly n'étaient pas à égalité sur la base des résultats préliminaires publiés du CEP.
Résultats révisés par l'OEA dans un rapport déposé le 13 janvier 2011.-
Les experts de l'OEA recommandent de rejeter 50 935 bulletins de vote du nombre n = 1 074 056 bulletins retenus initialement comme valides par le CEP. Le rapport des experts de l'OEA détermine donc que le total de votes valides au premier tour se chiffre à n' = 1 023 121 votes. Mentionnons en passant que nous avons découvert une petite coquille dans le tableau des résultats révisés contenus dans le rapport de l'OEA qui mentionne un total de 1 035 883 votes au lieu de la valeur exacte de 1 023 121 (vérifiée par LCDP-Mths. appl.). Mais les pourcentages et autres calculs de l'OEA se basent implicitement sur le bon total de 1 023 121 votes, ce qui n'affecte donc en rien les calculs, les conclusions et les recommandations de l'OEA.
Selon le raspport de l'OEA, les trois candidats arrivant en tête sont dans l'ordre:
1. Mirlande Manigat, 1ère, avec X'1= 323 048 voix, ou en proportion p'1 = X'1/n' = 0,3157.
2. Michel Martelly, 2eme, avec X'2 = 227 467 voix, ou en proportion p'2 = X'2/n' = 0,2223.
3. Jude Célestin, 3eme, avec X'3 = 224 242, ou en proportion p'3 = X'3/n' = 0,2192.
Pour éviter toute confusion avec les symboles utilisés dans notre analyse postée le 16 décembre 2010 sur LCDP-Mths. appl., nous proposons d'appeler P'1, P'2, P'3 les proportions réelles (nombres inconnus qui le resteront à jamais, du point de vue de la statistique) des électeurs qui auraient voté pour Mirlande Manigat, Michel Martelly et Jude Célestin, respectivement, si toute la population d'électeurs de taille N = 4,7 millions avait voté le 28 novembre 2010.
Les proportions inconnues P'1, P'2 et P'3 sont des paramètres (fixes, le jour du scrutin, et inconnus). Les quantités p'1, p'2 et p'3, estimateurs de P'1, P'2 et P'3, suivent des lois binomiales, comme les quantités X'1, X'2 et X'3 qui ont servi à les définir.
Martelly et Célestin sont-ils à égalité du point de vue de l'inférence statistique ?
A) Test de l'égalité (ou non) de deux proportions, basé sur leur différence.-
Sur la base des résultats du premier tour révisés par l'OEA, moyennant un niveau de confiance acceptable (95%, 99%, 99,9%, ou 99.99%), peut-on accepter pour vraie l’hypothèse nulle :
H0 : P'2 = P'3
Et rejeter l’hypothèse alternative :
H1 : P'2 ≠ P'3 ?
Nous allons voir que, quel que soit le choix du niveau de confiance parmi ceux mentionnés ci-dessus, l’hypothèse nulle H0 : P'2 = P'3 est rejetée. Par conséquent on devrait accepter l’hypothèse alternative H1 : P'2 ≠ P'3.
Sur la base de ces calculs, Jude Célestin devrait donc être écarté du second tour définitivement par le CEP. L'OEA a clairement recommandé d'écarter Jude Célestin et recommandé de retenir Manigat et Martelly pour le second tour.
Montrons que l’hypothèse H0 : P'2 = P'3 est fausse.
L’échantillon de taille n' peut être considéré comme tiré aléatoirement de la population des 4,7 millions d'électeurs potentiels. La taille de l’échantillon aléatoire étant grand, on peut supposer que les estimateurs p'1, p'2 et p'3 suivent approximativement la loi normale. Les variables X'2 et X'3 (nombre d'électeurs ayant voté pour Martelly et Célestin respectivement) sont tirées du même échantillon qui lui-même provient de la même population. On procédera comme dans l'article du 16 décembre 2010 mis à jour le 21 janvier 2010 qui traitait des résultats du premier tour avant les corrections proposées par les experts de l'OEA, c'est-à-dire que nous tenons compte du fait que les variables X'2 et X'3 ne sont pas indépendantes.
Par conséquent, si l’hypothèse H0 : P'2=P'3 est vraie, en posant P'2 = P'3 = P, la variable aléatoire Z telle que :
Z = (p'2-p'3)/(racine carrée de [(p'2+p'3)-(p'2-p'3)^2]/n')
suit approximativement la loi normale de moyenne zéro et de variance 1 : N(0; 1).
Un estimateur de P est :
p = (X'2+X'3)/2n'.
La statistique du test de l'hypothèse H0 : P'2 = P'3 est alors :
Z0 = (p'2-p'3)/(racine carrée de [2p/n'])
Soit α l’erreur de première espèce ou la probabilité de rejeter l’hypothèse H0 : P'2 = P'3, alors qu’elle est vraie.
Donc la probabilité d’accepter l’hypothèse H0 : P'2 = P'3, alors qu’elle est vraie est (1- α).
En pourcentage, 100(1- α)% représente le niveau de confiance du test.
Il s’agit ici d’un test bilatéral. Pour un α spécifié, on définit à l’aide des tables de la loi normale, les limites -Zα/2 et Zα/2 de l’intervalle à l’intérieur duquel doit se situer Z0 pour que l’hypothèse H0 : P'2 = P'3 soit vraie.
Par conséquent, si Z0 supérieur à Zα/2 , ou Z0 inférieur à -Zα/2 , l’hypothèse H0 : P'2 = P'3 est rejetée.
Résultats du test dans le cas de Martelly et Célestin.-
Estimateur de P : p= 0,22075
Écart entre les deux estimateurs : p'2 – p'3 = 0,0031
Statistique Z0 = 4,80
1) Pour 100α% = 5%, ou 100(1- α) = 95%, on a Zα/2 = 1,96, et H0 est rejetée;
2) Pour 100α% = 1%, ou 100(1- α) = 99%, on a Zα/2 = 2,57, et H0 est rejetée;
3) Pour 100α% = 0,27%, ou 100(1- α) = 99,73%, on a Zα/2 = 3,00, et H0 est rejetée;
4) Pour 100α% = 0,1%, ou 100(1- α) = 99.9%, on a Zα/2 = 3,29, et H0 est rejetée;
5) Pour 100α% = 0,01%, ou 100(1- α) = 99.99%, on a Zα/2 = 3,89, et H0 est rejetée;
6) Pour 100α% = 6,34E-05 %, ou 100(1- α) =100%, on a Zα/2 = 4,00, et H0 est rejetée;
On rejette l’hypothèse H0 : P'2 = P'3 pratiquement pour tous les niveaux de confiance retenus ici.
On ne peut donc pas dire que les candidats Martelly et Célestin sont à égalité sur la base des résultats du premier tour révisés par l'OEA et selon lesquels l'écart entre ces deux candidats s'établit à 3225 voix en faveur de Michel Martelly.
La figure ci-après montre la situation des trois candidats Mirlande Manigat, Michel Martelly et Jude Célestin. Elle est construite par LCDP-Mathématiques appliquées à partir des résultats du premier tour révisés par l'OEA.
Situation des trois candidats Mirlande Manigat, Michel Martelly et Jude Célestin,
selon le rapport de l'OEA.
Graphique: LCDP-Mathématiques appliquées/Dr. Pierre Montès, 17 janvier 2011
Sur un axe gradué en pourcentages entre 21,5% et 32%, on montre les fonctions de densité de probabilités des variables aléatoires p'1, p'2 et p'3 approximées par la loi normale.
À l'extrême droite se trouve la fonction de densité de p'1 associée à la candidate Mirlande Manigat. C'est une courbe normale de moyenne 31,57% et d'écart-type 0,046%.
À l'extrême gauche se trouve la courbe normale de p'3 associée au candidat Jude Célestin, de moyenne 21,92% et d'écart-type 0,041%.
Entre les deux extrêmes se situe la courbe normale de p'2 associée au candidat Michel Martelly, de moyenne 22,23% et d'écart-type 0,041%.
On voit que les courbes de densité de Martelly et de Célestin n'accusent aucun chevauchement (pour des densités non nulles), ce qui corrobore en quelque sorte, graphiquement, le rejet de l'hypothèse H0: P'2 = P'3 obtenue ci-dessus.
L'écart entre Manigat et Martelly est de 95 581 voix, soit 9,34% comme l'illustre la figure. L'écart entre Martelly et Célestin est de 3225 voix, soit 0,31% comme le montre la figure.
B) Test d'égalité d'une proportion à une valeur fixée.-
La comparison des deux proportions P'2 et P'3 provenant de la même population peut se faire aussi rigoureusement de la manière suivante. On peut en effet proposer de comparer indépendamment et séparément chacune des proportions P'2 et P'3 à une même valeur spécifiée P0, fixée une fois pour toutes à 0,22075.
Alors le problème revient à tester séparément les deux séries d'hypothèses:
B1)Cas de Martelly.-
Sur la base des résultats du premier tour révisés par l'OEA le 13 janvier 2011, et moyennant un niveau de confiance acceptable (95%, 99%, 99,9%, ou 99.99%), peut-on accepter pour vraie l’hypothèse nulle :
H0' : P'2 = P0 (P0 = 0,22075)
Et rejeter l’hypothèse alternative :
H1' : P'2 supérieur à P0 ?
B2)Cas de Célestin.-
Sur la base des résultats du premier tour révisés par l'OEA le 13 janvier 2011, et moyennant un niveau de confiance acceptable (95%, 99%, 99,9%, ou 99.99%), peut-on accepter pour vraie l’hypothèse nulle :
H0'' : P'3 = P0 (P0 = 0,22075)
Et rejeter l’hypothèse alternative :
H1 : P'3 inférieur à P0 ?
Dans l'un ou l'autre cas, la statistique du test de l'hypothèse H0' est Z0' et celle du test H0'' est Z0''. On a:
Z0' = (p'2-P0)/racine carrée de (p'2(1-p'2)(1/n'2))
Z0'' = (p'3-P0)/racine carrée de (p'3(1-p'3)(1/n'3))
Dans le cas qui nous occupe, on a:
Z0' = 3,84
Z0'' = -3,84
Pour un niveau de confiance 100(1- α)% donné, si Z0' est supérieur à Zα , l'hypothèse H0': P'2 = P0 est rejetée; de même si Z0'' est inférieur à -Zα, l’hypothèse H0'': P'3 = P0 est rejetée.
B1) Dans le cas de Martelly, on trouve:
Statistique Z0 = 3,84
B11) Pour 100α% = 5%, ou 100(1 - α) = 95%, on a Zα = 1,645, et H0' est rejetée;
B12) Pour 100α% = 2,5%, ou 100(1 - α) = 97,5%, on a Zα = 1,96, et H0' est rejetée;
B13) Pour 100α% = 1,0%, ou 100(1 - α) = 99,0%, on a Zα = 2,33, et H0' est rejetée;
B14) Pour 100α% = 0,27%, ou 100(1 - α) = 99.73%, on a Zα = 2,78, et H0' est rejetée;
B15) Pour 100α% = 0,1%, ou 100(1 - α) = 99.90%, on a Zα = 3,10, et H0' est rejetée;
B16) Pour 100α% = 0,01%, ou 100(1 - α) = 99,99%, on a Zα = 3,72, et H0' est rejetée;
B2) Dans le cas de Celestin, on trouve:
Statistique Z0 = -3,84
B21) Pour 100α% = 5%, ou 100(1 - α) = 95%, on a -Zα = -1,645, et H0'' est rejetée;
B22) Pour 100α% = 2,5%, ou 100(1 - α) = 97,5%, on a -Zα = -1,96, et H0'' est rejetée;
B23) Pour 100α% = 1,0%, ou 100(1 - α) = 99,0%, on a -Zα = -2,33, et H0'' est rejetée;
B24) Pour 100α% = 0,27%, ou 100(1 - α) = 99.73%, on a -Zα = -2,78, et H0'' est rejetée;
B25) Pour 100α% = 0,1%, ou 100(1 - α) = 99.90%, on a -Zα = -3,10, et H0'' est rejetée;
B26) Pour 100α% = 0,01%, ou 100(1 - α) = 99,99%, on a -Zα = -3,72, et H0'' est rejetée;
On conclut donc que les hypothèses H1' et H1'' sont simultanément et indépendamment vraies: P'2 est supérieur à P0= 0,22075 et P'3 est inférieur à P0=0,22075 pour chacun des six niveaux de confiance spécifiés ci-dessus. Par conséquent P'2 n'est statistiquement pas égal à P'3, comme l'a aussi montré le test sur la différence des deux propostions développé précédemment où la variance de (p'2-p'3) prend en compte le fait que p'2 et p'3 ne sont pas indépendantes.
Conlusion.-
La preuve est faite ici: Michel Martelly est bien deuxième et devrait est qualifié par le CEP pour le second tour. Jude Célestin, 3e, devrait être écarté du second tour par le CEP.
Le Coin de Pierre souhaite bonne chance à la favorite Madame Mirlande Manigat, qui, si elle est élue au second tour, sera la première femme haïtienne à accéder à la présidence par une élection au suffrage universel. Madame Manigat a toute la compétence pour être Chef d'État. Un vrai changement en perspective pour Haïti en 2011.
Référence.-
Scott, A.J. and Seber, G.A.F. (1983), Difference of Proportions From the Same Survey, The American Statistician, Vol. 37, No. 4, pp 319-320.
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Liens vers le rapport de l'OEA:
Premier lien:
Haiti-1er tour élections présidentielles 2010/LCDP-Politique/Rapport experts OEA.
Autre lien : rocmasters.com.
