Probabilités et Statistique pour ingénieurs: une introduction simplifiée

Par Dr. Pierre Montès

C'est le sujet que nous commencerons à présenter ici bientôt sous forme de «leçons».

Soyez patients.

Iraq-born teen cracks maths puzzle

Source: AFP, Thu May 28, 1:42 PM

STOCKHOLM (AFP) - A 16-year-old Iraqi immigrant living in Sweden has cracked a maths puzzle that has stumped experts for more than 300 years, Swedish media reported on Thursday.

In just four months, Mohamed Altoumaimi has found a formula to explain and simplify the so-called Bernoulli numbers, a sequence of calculations named after the 17th century Swiss mathematician Jacob Bernoulli, the Dagens Nyheter daily said.

Altoumaimi, who came to Sweden six years ago, said teachers at his high school in Falun, central Sweden were not convinced about his work at first.

"When I first showed it to my teachers, none of them thought the formula I had written down really worked," Altoumaimi told the Falu Kuriren newspaper.

He then got in touch with professors at Uppsala University, one of Sweden's top institutions, to ask them to check his work.

After going through his notebooks, the professors found his work was indeed correct and offered him a place in Uppsala.

But for now, Altoumaimi is focusing on his school studies and plans to take summer classes in advanced mathematics and physics this year.

"I wanted to be a researcher in physics or mathematics; I really like those subjects. But I have to improve in English and social sciences," he told the Falu Kuriren.

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http://ca.news.yahoo.com/s/afp/090528/oddities/sweden_education_offbeat_iraq
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Paris, capitale mondiale des maths

Par Jean-Philippe Braly
Le journal du CNRS

Avec un effectif de près de 1 000 chercheurs, la Fondation Sciences mathématiques de Paris (FSMP) (*), dans laquelle est impliqué le CNRS, constitue le plus grand vivier de mathématiciens au monde. Tout aussi impressionnant que le nombre de ses chercheurs : son niveau d'excellence, couronné par de nombreuses distinctions internationales.

Quatre médailles Fields, deux prix Abel (1), quatorze académiciens, cent vingt lauréats de prix nationaux et internationaux, dont trois des onze récompenses remises lors du dernier Congrès européen des mathématiques qui s'est tenu en 2008 à Amsterdam… la Fondation Sciences mathématiques de Paris (FSMP) présente un « tableau de chasse » pour le moins impressionnant. « À plusieurs reprises, les laboratoires de la fondation ont fait mieux en nombre de conférenciers invités au Congrès mondial des mathématiques que les universités de Princeton et Berkeley et le Massachusetts Institute of Technology (MIT) réunis ! Or c'est un critère très reconnu dans notre domaine », annonce avec fierté Jean-Yves Chemin, directeur de la FSMP. Créée fin 2006, celle-ci compte six institutions membres (2), en tout neuf laboratoires parisiens employant pas moins de 1 000 chercheurs, soit la plus grande concentration de mathématiciens au monde ! Le CNRS est un des membres fondateurs et représente un quart de cet effectif. À l'origine de la fondation : la volonté de fédérer et de mettre en réseau les mathématiciens de la capitale pour améliorer la visibilité et l'attractivité de leurs laboratoires au niveau national et mondial. Autre spécificité : la FSMP couvre l'ensemble du champ des mathématiques pures et appliquées, ainsi que l'informatique fondamentale. Un choix motivé par une réalité qui se vérifie jour après jour : il n'y a pas de barrière hermétique entre la théorie et les applications. « Les mathématiques ont vu le jour il y a 5 000 ans pour gérer la production et la distribution des biens, on ne peut pas faire plus appliqué », se plaît d'ailleurs à rappeler Jean-Yves Chemin.

Les maths sont partout

En témoignent aussi les travaux des chercheurs de la fondation primés au 5e Congrès européen des mathématiques qui s'est déroulé le 14 juillet 2008 à Amsterdam. Ainsi, Laure Saint-Raymond, membre du Laboratoire Jacques-Louis Lions (3), s'est vue récompensée, entre autres, pour sa mise en équation des « ondes équatoriales », qui permet de mieux comprendre les phénomènes climatiques très complexes ayant cours à ces latitudes. Son collègue Josselin Garnier a quant à lui reçu un prix pour ses travaux appliqués à la sismologie. « En modélisant le bruit de fond des ondes sismiques présentes dans le sous-sol californien, il est parvenu à cartographier ce sous-sol nettement plus précisément que ce qui se faisait avant ! », explique Jean-Yves Chemin. Mais bien d'autres domaines nécessitent les maths. Ainsi en est-il de la cryptographie, devenue indispensable, par exemple, pour payer en toute sécurité ses achats par carte bancaire sur Internet. « La théorie des nombres qu'elle met en jeu est un exemple édifiant de mathématiques abstraites au service d'une application pratique », précise le directeur. Les maths font bien partie intégrante de notre vie quotidienne ! C'est pourquoi la FSMP s'est donné pour mission de favoriser les collaborations entre les chercheurs et le monde économique et industriel. Son objectif : devenir un interlocuteur privilégié pour aider les entreprises à identifier leurs besoins à moyen et long terme, puis recruter les mathématiciens de très haut niveau susceptibles d'y répondre.

Attirer les meilleurs

Mais si Paris jouit déjà d'une forte crédibilité en mathématiques, elle ne la conservera qu'au prix d'un réel effort. « Car d'autres villes dans le monde sont en embuscade, telles Pékin ou Bombay, dont le nombre de mathématiciens est en constante augmentation », prévient Jean-Yves Chemin. La Fondation engage donc des moyens conséquents pour attirer la fine fleur mondiale des mathématiciens. Ainsi, une chaire d'excellence destinée à des chercheurs de tout premier rang international vient d'être créée, la seule entièrement dévolue aux maths en France (4). Quinze postdoctorants étrangers peuvent aussi être accueillis chaque année, unique programme « postdoc » de cette envergure pour les mathématiques et l'informatique fondamentale au niveau national. « Pour leur recrutement, un affichage mondial des postes à pourvoir est réalisé au sein de 2 000 institutions ! », déclare Jean-Yves Chemin. Le prix de la Fondation permet d'accueillir pendant un an un jeune mathématicien prometteur, future « vedette » de son sujet. Et les plus grands mathématiciens mondiaux peuvent être invités à Paris pour des séjours de deux à trois mois… Mais la FSMP irrigue aussi le tissu mathématique national en finançant le séjour de mathématiciens provinciaux pour des formations à l'Institut Henri Poincaré (IHP) (5) et pour le séjour de doctorants en province. « Enfin, nous sommes capables de débloquer très rapidement un budget pour accueillir un thésard étranger exceptionnel, ajoute Jean-Yves Chemin. Nous avons ainsi réussi à convaincre un jeune australien prodige que tout le monde s'arrachait. »

Donner le goût des maths

Développer l'intérêt général pour les mathématiques est une autre des missions que s'est fixée la Fondation, même si sa vocation première reste la recherche. Bien que les universités parisiennes soient un peu moins touchées que la moyenne, la pénurie d'étudiants est un phénomène alarmant. La FSMP a donc décidé de créer « Paris Graduate School of Mathemical Sciences », un programme de bourses de master et de thèse destiné aux étudiants étrangers. « Notre objectif est d'accueillir 20 étudiants au niveau Master 1 dès la rentrée 2010, puis de passer à 50 élèves », annonce le directeur. Parallèlement, la Fondation mène un gros effort de communication et de vulgarisation, comme en témoigne son site internet. Pourvu qu'elles soient bien expliquées, les maths, ce n'est pas si sorcier !
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Notes :
(1) La Médaille Fields et le prix Abel sont deux récompenses qui viennent pallier l'absence de prix Nobel en mathématiques. La première est remise tous les quatre ans à un ou plusieurs chercheurs de moins de quarante ans. Le prix Abel est attribué tous les ans. Il a été remis cette année à Mikhaïl Gromov membre de l'Institut des hautes études scientifiques (IHÉS), à Bures-Sur-Yvette (lire « Éclats »).

(2) CNRS, École normale supérieure, université Paris-Diderot, université Pierre-et-Marie-Curie, université Paris-Dauphine, Collège de France.

(3) Laboratoire CNRS / Université Paris-I.

(4) Cette chaire permet de financer un séjour de douze mois pour un mathématicien étranger de tout premier plan. Le lauréat dispose d'un budget pouvant atteindre 68 000 E et d'un salaire de 6 200 E nets par mois.

(5) Institut CNRS / Université Paris-VI.

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(*) Site de la Fondation Sciences Mathématiques de Paris:
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http://www.sciencesmaths-paris.fr/
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//L'article ci-dessus provient du lien ci-dessous:
// http://www2.cnrs.fr/presse/journal/4342.htm
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Le blog « How to become a pure mathematician (or statistician) »

J'ai découvert ce blog qui ne manquera pas d'intéresser les internautes.
On y trouvera une liste ordonnée d'ouvrages de mathématiques sur différents sujets.
Quelques-uns d'entre eux sont téléchargeables gratuitement en format pdf. Pour les autres, il donne un lien vers un point de vente électronique (e.g. amazon.com).

Mais, ce qu'il y a de plus intéressant, ces ouvrages sont répartis en cinq étapes par lesquelles l'auteur vous suggère de passer pour devenir mathématicien (ou mathématicienne). Cela me rappelle un peu l'escalier que nous propose Zig Ziglar pour nous rendre au sommet (Zig Ziglar, Rendez-vous au sommet).

Le travail réalisé par l'auteur de ce blog est remarquable. Le Coin de Pierre-Mathématiques appliquées l'en félicite.

Cliquez sur le lien suivant pour y accéder.

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http://hbpms.blogspot.com/
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Vous pouvez aussi visiter le site Web suivant qui fermera très bientôt (juin 2009) nous annonce le blogueur.
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http://hk.mathphy.googlepages.com/index.htm
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Advanced Calculus/Real analysis

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Evelyn M. Silvia (1948-2006), Professor of mathematics, University of California at Davis

Photos: UC Davis

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Il s'agit des notes de cours faisant partie du matériel du cours intitulé: Math 127 - Advanced Calculus, dispensé à UC Davis dans le programme de premier cycle en mathématiques.

Selon l'auteur, ces notes sont conçues pour accompagner le manuel: (Baby Rudin) Principles of Mathematical Analysis (3rd Edition). Voir mon article sur Walter Rudin posté récemment sur ce Blog).

Ce sont, à mon avis, d'excellentes notes de cours.

Chacun des titres suivants correspond à un fichier en format pdf que le lecteur pourra télécharger à partir du site Web de l'Université de Californie à Davis:

• Title & Table of Contents
• The Field of Reals and Beyond
• From Finite to Uncoutable Sets
• Metric Spaces and Some Basic Topology
• Sequence and Series--First View
• Functions on Metric Spaces and Continuity
• Differentiation: Our First View
• Riemann-Stieltjes Integration
• Sequences and Series of Functions
• Some Special Functions
• Index

Voici le lien conduisant au matériel du cours:

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http://www.math.ucdavis.edu/~emsilvia/math127/math127.html

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Le cours du professeur Silvia est plus facile à lire que le livre de Rudin. La lecture de chacun des chapitres devrait précéder celle de la matière correspondante du livre de Rudin.

Le professeur Evelyn Marie Davis reçut en 2001 le prix Deborah and Franklin Tepper Haimo pour l'excellence de son enseignement des mathématiques au niveau universitaire (1). Ce prix signifiait pour ses étudiants qu'ils étaient en train d'être formés par le plus grand professeur de mathématiques aux États-Unis.

Les liens suivants permettent de se faire une première idée de cette grande femme américaine originaire du Massachusetts:

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http://www.news.ucdavis.edu/search/news_detail.lasso?id=7607

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http://www.dateline.ucdavis.edu/011201/DL_silvia.html

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http://www.universityofcalifornia.edu/senate/inmemoriam/evelynsilvia.htm

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(1) Prix octroyé en par l'AMA en 2001 à Evelyn Marie Silvia:

http://www.ams.org/ams/2001-prizes.pdf

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N.B.- Quand nous traiterons de questions reliées aux notions très avancées de Probabilités et Statistique, c'est-à-dire, dans quelques années (soyez patients), je vous parlerai d'une autre grande mathématicienne américaine: Grace Wahba.

« All the Mathematics you missed, but need to know for graduate school »

C'est le titre d'un ouvrage du professeur Thomas A. Garrity.

Certains étudiants en mathématiques aiment ce livre, d'autres le détestent. Et c'est bien qu'il en soit ainsi.

Moi je l'aime bien, ce livre. Il permet à l'ingénieur que je suis de savoir, aux yeux d'un mathématicien, ce qu'il est essentiel à un étudiant de savoir à la fin de son premier cycle universitaire en mathématiques, avant d'aborder des études de cycles supérieures en mathématiques.

L'ouvrage est de format livre de poche.

Il comprend 16 chapitres, chacun se terminant par une petite liste d'exercices et une courte liste de livres à lire avec une juste appréciation de chacun d'eux.

Tout cela dans moins de 350 pages !

Il s'agit d'un exploit que je salue bien humblement.

Je m'en inspirerai plus tard dans le domaine de l'ingénierie.

Voici succinctement la table des matières:

• Preface (5 pages)
• On the Structure of Mathematics (4 pages)
• Chap. 0.-Brief Summaries of Topics (5 pages)
• Chap. 1.- Linear Algebra (pages 1-22)
• Chap. 2.- epsilon and delta Real Analysis (pages 23-45)
• Chap. 3.- Calculus for Vector-Valued Functions (pages 47-61)
• Chap. 4.- Point Set Topology (pages 63-79)
• Chap. 5.- Classical Stokes theorems (pages 81-109)
• Chap. 6.- Differential Forms and Stokes' Theorem (pages 111-144)
• Chap. 7.- Curvature for Curves and Surfaces (pages 145-159)
• Chap. 8.- Geometry (pages 161-170)
• Chap. 9.- Complex Analysis (pages 171-200)
• Chap. 10.- Countability and Axiom of choice (pages 201-212)
• Chap. 11.- Algebra (pages 213-229)
• Chap. 12.- Lebesgue Integration (pages 231-241)
• Chap. 13.- Fourier Analysis (pages 243-259)
• Chap. 14.- Differential Equations (261-283)
• Chap. 15.- Combinatorics and Probability Theory (pages 285-306)
• Chap. 16.- Algorithms (pages 307-325)
• Appendix A.- Equivalence Relations (pages 327-328)
• Bibliography - 116 Books (pages 329-337)
• Index (pages 338-347)

Dans la préface, voici ce que dit l'auteur à la section «Goal of Book»:

« The goal of this book is to give people at least a rough idea of the many topics that beginning graduate students at the best graduate schools are assumed to know...»

« There is another goal. Many nonmathematicians suddenly find that they need to know some serious math. The prospect of struggling with a text will legitimately seem for them to be daunting. Each chapter of this book will provide for these folks a place where they can get a rough idea and outline of the topic they are intereted in...»

Toujours dans la préface, voici ce que dit l'auteur à la section «Comments on the Bibliography»:

« There are many topics in this book. While I would love to be able to say that I thouroughly know the literature on each of these topics, that would be a lie. The bibliography has been cobbled together from recommendations from colleagues, from books that I have taught from books that I have used. I am confident that there are excellent texts that I do not know about. If you have a favorite, please let me know at.... »

Cambridge University Press, 2002.

QA37.3 G37 2002

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http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?isbn=0521792851&utm_source=DOI&utm_medium=MultiLink&utm_content=0521792851&utm_campaign=CDI

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http://www.cambridge.org/

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Commentaires additionnels.-

Cela fait cinq ans exactement que j'ai l'intention de parler de cet ouvrage, mais le temps me faisait toujours défaut. J'ai souvent mentionné à ma chère moitié que j'avais l'intention d'en recommander la lecture à tel ou tel ami ingénieur, mais je me suis à chaque fois retenu, ne sachant pas comment une telle proposition aurait été reçue.

Pour avoir, dans ma petite carrière, côtoyé de près des mathématiciens du monde entier et pour avoir travaillé dans un monde d'ingénieurs (auquel j'appartiens), je peux dire que je saisis un peu la perception que se fait des mathématiques, chacun de ces corps de métier.

Pour le mathématicien, c'est le chemin (la preuve) qui conduit aux conclusions (théorèmes) de sa théorie qui importe le plus.

Pour l'ingénieur, ce qui est important, c'est la définition du problème et la conclusion (le résultat final); le passage de la définition à la solution (la preuve) est relégué en annexe ou laissé aux mathématiciens, par souci de ne pas décourager son auditoire (ou ses supérieurs, voire parfois ses étudiants !). En outre, il faut que le résultat soit utile dans la vraie vie, c'est-à-dire que le résultat soit applicable à des problèmes de sa pratique professionnelle.

Les physiciens, eux, sont dans une catégorie à part. Bien que le mathématicien les regarde de haut et les mette dans le même ensemble que les ingénieurs (pour le mathématicien, physicien = ingénieur), les physiciens, eux, se voient à la fois comme mathématiciens et comme ingénieurs: ils construisent les mathématiques dont ils ont besoin. En effet, il est difficile (en termes de temps de dialogue, d'échange) au physicien d'expliquer au mathématicien le problème qu'il cherche à résoudre; alors, pour faire plus vite, il bâtit ses propres mathématiques. Par la suite, le mathématicien viendra mettre, s'il en était besoin, un peu plus de formalisme et de rigueur dans les mathématiques construites par le physicien (par exemple, la Méthode des Éléments Finis (Finite Element Method); les courbes et surfaces de Bézier; les surfaces de Coons, etc.).

Le livre de Thomas A. Garrity peut être utile aux ingénieurs qui désirent se faire une juste idée des mathématiques de base nécessaires aux mathématiciens professionnels eux-mêmes et ainsi prendre la mesure des écarts entre les deux mondes: celui des ingénieurs et celui des mathématiciens. S'ils le veulent, ils pourront alors combler ces écarts.

C'est, en tout cas, ma perception de l'utilité du livre de Garrity pour les ingénieurs.

Walter Rudin

Professeur émérite Walter Rudin, Université de Winsconsin-Madison (Photo: UWM)

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Le professeur Walter Rudin est un mathémathicien américain. Il est connu pour ses qualités de pédagogue et de chercheur.

Parmi les livres qu'il a publiés, nous en citons trois:

1) Principles of Mathematical Analysis (traduit en français sous le titre: Principes d'analyse mathématique), connu sous le pseudonyme: Baby Rudin;

2) Real and Complex Analysis (traduit en français sous le titre: Analyse réelle et complexe), connu sous le pseudonyme: Papa Rudin;

3) Functional Analysis (traduit en français sous le titre: Analyse fonctionnelle).

Une grande partie du premier livre correspond grosso modo à une partie des notions de mathématiques vues en première année d'un cours d'ingénieur. Mais l'ouvrage s'adresse à des étudiants qui s'orientent vers la profession de mathématicien. La réussite d'un cours de mathématiques basée sur le contenu de ce livre est, semble-t-il, le test permettant de savoir si un étudiant peut poursuivre ou non ses études en mathématiques. Est-ce pourquoi les étudiants l'on surnommé: « Baby Rudin » ?

Ces trois livres peuvent être utiles à ceux (et celles) qui qui sont intéressé(e)s aux mathématiques appliquées.

Je recommande fortement aux internautes intéressés la lecture attentive de Principes d'analyse mathématique.

En 1993, en conversation avec un autre grand mathématicien de la trempe de Walter Rudin, j'avais mentionné la difficulté de choisir un livre abordable pour les ingénieurs sur le sujet de l'Analyse Fonctionnelle; il m'avait alors tout de suite suggéré le troisième livre de Walter Rudin: Functional Analysis.

Son épouse, Mary Ellen Rudin est aussi mathématicienne qui n'a rien à envier à son illustre époux.

Voici une vue de la très jolie maison où ils habitent, oeuvre de l'architecte célèbre Frank Llyod Wright.

A lot of glasses makes the Rudin house quite beautiful. The only problem that can be seen with this home is privacy.

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http://en.wikipedia.org/wiki/Walter_Rudin

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http://fr.wikipedia.org/wiki/Walter_Rudin

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http://en.wikipedia.org/wiki/Mary_Ellen_Rudin

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http://www.peterbeers.net/interests/flw_rt/Wisconsin/Rudin/Rudin.htm

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http://en.wikipedia.org/wiki/Frank_Lloyd_Wright

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http://fr.wikipedia.org/wiki/Frank_Lloyd_Wright

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Wiley-Blackwell / Engineering Free Issues from 2009!

Click on the link below to be able to view each journal’s FREE issue
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http://dmmsclick.wiley.com/view.asp?m=kkj6k0jvlu54bkj1r6m2&u=7032057&f=h
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Mathématiques/ Cours de base et cours avancés en ligne

Les internautes, étudiants, ingénieurs, scientifiques et autres personnes intéressées pourront lire en ligne (et télécharger) des cours mathématiques.

L'institution qui offre ce service gratuit (les dons sont laissés à votre convenance) n'est nulle autre que le MIT (Massachusetts Institute of Technology).

Cliquez pour satisfaire votre curiosité et votre soif de savoir:

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http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/index.htm
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N.B.
<----- Dans la colonne de gauche du blog est fournie une liste de liens vers du matériel de cours gratuits produits par le MIT pour d'autres branches: Physique, Chimie, Biologie, Sciences de la terre, de l'atmosphère et des planètes, Science cognitive et Science du cerveau. J'y ai également mis le lien vers les matériels de cours gratuits de Mathématiques. Faites circuler l'information.

Les mathématiques vues par deux mathématiciens du XXe siècle

J’ai eu l’occasion de rencontrer Philip Davis(1) à une conférence sur la Conception Géométrique Assistée par Ordinateur (Computer-Aided Geometric Design, CAGD) à l’Université d’État de l’Arizona, ASU, à Tempe, en novembre 1989. Cette conférence réunissait des mathématiciens et des ingénieurs du monde entier et était organisée par le pofesseur Robert Barnhill.
Philip Davis est un grand et sympathique conférencier. Il a écrit avec Reuben Hersh(2) un livre de vulgarisation intitulé, The mathematical experience, dont la traduction française, L’univers mathématique (3), a été réalisée par nul autre que le mathématicien Lucien Chambadal.

Le Coin de Pierre – Mathématiques appliquées présente quelques extraits de l’introduction, intitulée Ouverture, qui semble avoir été écrite par Philip Davis, et quelques extraits du chapitre 1, intitulé Le paysage mathématique.

C’est de cette manière que je choisis de débuter ce blog.

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Ouverture.-

« Jusqu’à environ cinq ans, j’étais un mathématicien normal. Je ne faisais pas de choses hasardeuses ou peu orthodoxes, telle l’écriture du présent livre. J’avais mon « domaine» - les équations aux dérivées partielles – et j’y restais, ou je ne franchissais ses limites que pour me promener dans un domaine voisin. Ma pensée profonde, ma véritable vie intellectuelle, utilisaient des catégories et des modes d’analyse que j’avais absorbés des années auparavant, dans ma formation d’étudiant diplômé. Mais je ne m’égarais jamais loin de ces modes et de ces catégories, et j’en étais à peine conscient. Ils faisaient partie de la manière dont je voyais le monde, mais non partie du monde que j’observais.»

« Mon avancement dépendait de mes recherches et de mes publications dans mon domaine… Me libérer de cette conception – c’est-à-dire, reconnaissons-le, apprendre que c’était seulement l’une parmi de nombreuses manières d’observer le monde, d’être capable de la choisir ou non, de l’évaluer et de la comparer à d’autres manières d’observer le monde – rien de ceci n’était nécessaire pour mon travail ou ma carrière… »

« Le fait est, cependant, que je suis arrivé à un point où mon émerveillement et ma fascination pour la signification et le but de cette étrange activité que nous appelons les mathématiques sont égaux, voire supérieurs à mon attirance pour faire effectivement des mathématiques. Je constate que le monde des mathématiques est infiniment complexe et mystérieux ; l’explorer est une manie dont j’espère n’être jamais guéri. En ceci, je suis un mathématicien comme les autres. Mais en outre, une seconde moitié de moi-même s’est développée, un Autre, qui observe ce mathématicien avec stupeur, et qui est encore plus fasciné par le fait qu’une aussi étrange créature et une aussi étrange activité aient pu venir au monde, et persister pendant des millénaires.»

« Je fais remonter ces débuts au jour où je parvins enfin à faire un cours intitulé «Fondements des mathématiques »…Mon but en faisant ce cours, comme pour tous ceux que j’ai dispensés au fil des ans, était d’apprendre le sujet moi-même. À cette époque, je savais qu’il y avait une histoire de controverse sur les fondements. Je savais qu’il y avait eu trois «écoles» principales ; les logiciens, à la suite de Bertrand Russell, les formalistes, conduits par David Hilbert, et l’école constructiviste de E. J. Brouwer. J’avais une idée générale de l’enseignement de chacune de ces trois écoles. Mais je n’avais aucune idée de celle qui me conviendrait, si elle existait, et seulement une vague idée de ce qu’étaient devenues ces trois écoles un demi-siècle après l’époque où leurs fondateurs étaient en activité.»

« J’espérais qu’en enseignant ce cours, j’aurais l’occasion de lire et d’étudier les fondements des mathématiques, et ultérieurement de clarifier mes propres vues sur les parties controversées. Je n’avais pas l’intention de devenir un chercheur sur les fondements des mathématiques, pas plus que je n’étais devenu un théoricien des nombres après avoir enseigné la théorie des nombres.»

« Parce que mon intérêt pour les fondements était plutôt philosophique que technique, j’essayai d’organiser le cours de telle sorte qu’il puisse être suivi par des étudiants intéressés sans connaissances spéciales préalables ; en particulier, j,espérais attirer des étudiants en philosophie, et des étudiants en pédagogie des mathématiques. En fait, il y eut très peu de tels étudiants ; il y avait aussi des étudiants en ingénierie électrique, en informatique et en d’autres disciplines. Toutefois, les étudiants en mathématiques étaient le majorité. Je trouvai un couple de textes de bonne apparence, et je m’y plongeai.»

« Me trouvant devant un auditoire mélangé d’étudiants en mathématiques, en pédagogie et en philosophie, à faire des cours sur les fondements des mathématiques, je me trouvais dans une situation nouvelle et étrange. J’enseignais les mathématiques depuis quinze ans, à tous les niveaux et sur des sujets très variés, mais dans tous mes autres cours, le travail n’était pas de parler à propos des mathématiques, mais d’en faire. Ici mon but n’était pas d’en faire, mais d’en parler. C’était différent et effrayant.»

«… Dans un cours ordinaire de mathématiques, le programme est nettement découpé. Nous avons des problèmes à résoudre, ou une méthode à exposer, ou un théorème à démontrer. On effectue la plus grande partie du travail en écrivant, d’habitude au tableau noir. Si les problèmes sont résolus, les théorèmes démontrés ou les calculs achevés, alors le professeur et l’auditoire savent qu’ils ont achevé la tâche du jour… »

« En inaugurant mon cours sur les fondements des mathématiques, je formulais les questions que je croyais être centrales, et auxquelles j’espérais que nous pourrions donner une réponse, ou tout au moins une clarification, à la fin du semestre.»

« Qu’est-ce qu’un nombre ? Qu’est-ce qu’un ensemble ? Qu’est-ce qu’une démonstration ? Que savons-nous en mathématiques, et comment le savons-nous ? Qu’est-ce que la «rigueur mathématique» ? Qu’est-ce que l’«intuition mathématique» ? »

« Comme je formulais ces questions, je me rendis compte que je ne connaissais pas les réponses. Bien entendu, cela n’avait rien de surprenant, car pour des questions aussi vagues, «philosophiques», on ne peut attendre des réponses nettes du type que nous cherchons en mathématiques. Il y aura toujours des divergences d’opinion sur de telles questions. »

« Mais ce qui m’ennuyait, c’est que j’ignorais quelle était ma propre opinion. Ce qui était pire, c’est que je n’avais pas de base, de critère pour évaluer les diverses opinions, pour défendre ou attaquer un point de vue ou un autre. »

« Je me suis mis à parler aux autres mathématiciens de la démonstration, de la connaissance et de la réalité en mathématiques, et je trouvai que ma situation d’incertitude confuse était typique. Mais je trouvai aussi un désir remarquable pour la conversation et la discussion sur nos expériences personnelles et nos croyances intimes. »

« Ce livre (3) fait partie des retombées de ces années de réflexion, d’enquête et de discussions. »

Qu’est-ce que les mathématiques ? -

« Une définition naïve, convenant pour le dictionnaire et pour une compréhension initiale, est la suivante : « Les mathématiques sont la science de la quantité et de l’espace. » En élargissant légèrement cette définition, on peut ajouter que les mathématiques traitent aussi du symbolisme reliant la quantité à l’espace. »

« Cette définition a certainement une base historique ;…mais l’un des buts de cet ouvrage est de la modifier et de l’amplifier d’une manière qui reflète le développement du sujet au cours des derniers siècles et qui indique les vues des diverses écoles de mathématiques sur ce que ce sujet devrait être.»

« Les sciences de la quantité et de l’espace sous leurs formes les plus simples sont connues sous les noms d’arithmétique et de géométrie. L’arithmétique, telle qu’elle est enseignée à l’école, s’intéresse aux nombres de toute sorte, et des règles d’opérations sur les nombres…»

« La géométrie…s’intéresse en partie aux questions de mesures de l’espace… Mais la géométrie, si elle est enseignée suivant les règles posées par Euclide trois cents ans avant notre ère, a un autre aspect d’une importance vitale. Il s’agit de sa présentation comme une science déductive. Commençant avec un petit nombre d’idées élémentaires considérées comme évidentes, et sur la base de quelques règles bien déterminées de manipulation mathématique et logique, la géométrie euclidienne construit un édifice de déductions de complexité croissante.»

« … La géométrie euclidienne est le premier exemple de système déductif formalisé ; elle est devenue le prototype pour tous les autres systèmes. »

«… Avec l’insistance croissante mise sur l’aspect déductif de toutes les branches des mathématiques, C. S. Peirce, au milieu du XIXe siècle, annonçait que « les mathématiques sont la science de la production des conclusions nécessaires». Conclusions sur quoi ? Sur la quantité ? Sur l’espace ? Le contenu des mathématiques n’est pas déterminé par cette définition ; les mathématiques pourraient être «presque» n’importe quoi dans la mesure où il s’agit d’un sujet présentant le schéma hypothèse – déduction - conclusion. Sherlock Holmes fait remarquer à Watson, dans le Signe des quatre, que «la déduction est, ou devrait être, une science exacte et devrait être traitée de la même manière froide et impassible. Vous avez essayé de la teinter de romantisme, ce qui produit le même effet que si vous introduisez une histoire d’amour ou un enlèvement dans le cinquième postulat d’Euclide.» Ici Conan Doyle affirme ironiquement que l’enquête criminelle peut très bien être considérée comme une branche des mathématiques. Peirce serait d’accord. »

« La définition des mathématiques change. Chaque génération, chaque mathématicien porté vers la réflexion à l’intérieur de cette génération énonce une définition correspondant à son point de vue… »



Où trouver les mathématiques ? -

« Quel est le lieu des mathématiques ? Où se trouve-t-il ? Sur la page imprimées, naturellement, et avant l’imprimerie, sur les tablettes ou sur les papyrus… Mais elles doivent d’abord exister dans l’esprit des gens, car le rayonnage de livres ne crée pas les mathématiques. Les mathématiques existent dans des conférences enregistrées, dans les mémoires des ordinateurs et dans les circuits imprimés. Devrions-nous dire aussi qu’elles existent dans des machines mathématiques telles les règles à calcul et les caisses enregistreuses et, comme d’aucuns le croient, dans l’arrangement des pierres de Stonehenge ? Devrions-nous dire qu’elles résident dans les gènes du tournesol si cette plante porte des graines réparties sur des spirales logarithmiques et transmet des informations mathématiques de génération en génération ? …»



Quel pourcentage est-il possible de connaître ? -

« Les livre de mathématiques à Brown University sont logés au quatrième étage de la bibliothèque des sciences. Dans le métier, on considère qu’il s’agit d’une belle collection de mathématiques, et un calcul grossier montre que cet étage contient l’équivalent de soixante mille volumes de format moyen. Il y a bien sûr une certaine redondance dans le contenu de ces volumes et une certaine carence dans les possessions de l’université Brown, ce qui nous permet d’affirmer que l’un compense l’autre. À ces nombres nous devons peut-être ajouter une quantité égale de sujets mathématiques dans des domaines adjacents tels que l’ingénierie, la physique, l’astronomie, la cartographie, ou dans de nouveaux champs d’application comme l’économie. De cette manière nous arrivons au total de, disons 100 000 volumes. »

« Cent mille volumes. Cette somme de connaissances et d’information est très au-dessus des possibilités de qui que ce soit. C’est encore peu comparé à d’autres bibliothèques, comme en physique, en médecine, en droit ou en littérature. À une époque éloigné seulement de la durée de la vie d’un homme d’aujourd’hui, la totalité des mathématiques était considérée comme essentielle pour le bagage des connaissances d’un étudiant consciencieux. Le mathématicien helvético-russe Alexandre Ostrowski a dit un jour que quand il se présenta à l’examen pour enseigner à l’université de Marburg (vers 1915), on s’attendait à ce qu’il fût près à traiter de n’importe quelle question dans n’importe quelle branche des mathématiques. »

« On ne pourrait en dire autant aujourd’hui. Vers la fin des années 1940, John von Neuman estimait qu’un mathématicien habile savait, pour l’essentiel, dix pour cent de ce qui était disponible. C’est un aphorisme populaire que de dire que les connaissances s’ajoutent toujours, ne se retranchent jamais. Cet aphorisme persiste, malgré d’aussi choquantes évaluations que celle de A. N. Whitehead, lequel observait que l’Europe de l’an 1500 savait moins de choses que la Grèce au temps d’Archimède. Les mathématiques se construisent sur elles-mêmes ; elles forment un agrégat. La géométrie repose sur l’arithmétique et sur l’algèbre. L’analyse est bâtie sur les trois précédentes. La topologie est un rejeton de la géométrie, de la théorie des ensembles et de l’algèbre. Les équations différentielles sont édifiées sur l’analyse, la topologie et l’algèbre. Les mathématiques sont souvent représentées comme un arbre puissant avec ses racines, son tronc, ses branches, et des ramilles étiquetées selon certaines sous-disciplines. C’est un arbre qui croît avec le temps.»

« …La première branche est une condition préalable pour la compréhension de la suivante. Ainsi, l’étudiant sait qu’en vue d’étudier et de comprendre la théorie des équations différentielles, il doit suivre des cours d’analyse élémentaire et d’algèbre linéaire. Cette dépendance séquentielle est en contraste avec d’autres disciplines, telles que les beaux-arts ou la musique.»

« Mais tandis qu’il y a beaucoup de vrai dans la vision des mathématiques comme une science cumulative, cette vision ainsi présentée est plutôt naïve. Au fur et à mesure que les édifices mathématiques se construisent, il y a d’autres procédés concomitants en œuvre qui tendent à les abattre. Des théories deviennent impopulaires et sont négligées. Des faits isolés se révèlent erronés ou incomplets. Des travaux passent dans l’obscurité et deviennent des curiosités…D’autres théories, arrivées à un point de saturation, sont abandonnées… Des méthodes supérieures sont découvertes et remplacent les précédentes (de grandes tables de fonctions spéciales sont remplacées par les approximations câblées des ordinateurs). Tout ceci contribue à une diminution des sujets qui doivent se trouver au premier plan de la conscience mathématique. »

« Il y a aussi une perte de savoir due à la destruction ou à la détérioration du support matériel. Des bibliothèques ont été détruites pendant des guerres et des insurrections. Et ce qui n’a pas été accompli par les guerres l’a été par la chimie…»

« Combien de livres de mathématiques le candidat au doctorat devrait-il connaître ? Le candidat moyen suivra de quatorze à dix-huit cours semestriels de premier cycle et seize de second cycle. À raison d’un livre par cours, et doublant le résultat pour des lectures additionnelles ou de recherche, nous arrivons à un nombre de soixante à quatre-vingt volumes. En d’autres termes, deux étagères de livres feront l’affaire. C’est un nombre bien à la portée de la compréhension humaine ; il doit l’être. »

« Nous pouvons considérer nos soixante mille volumes comme un océan de connaissances, avec une profondeur moyenne de soixante à soixante-dix livres. À différents endroits de cet océan – c’est-à-dire pour les différentes spécialités à l’intérieur des mathématiques – nous pouvons faire un sondage ; l’étagère de soixante centimètres représentera l’éducation de base d’un spécialiste de cet endroit. Divisant 60 000 par 60, nous trouvons ainsi qu’il devrait y avoir au moins mille spécialités distinctes. Mais ceci est une sous-estimation, car beaucoup de livres apparaissent sur plusieurs listes de livres de base pour une spécialité…. (Une subdivision) fine montrerait que les textes mathématiques peuvent être divisés en plus de trois mille catégories. »

« Dans la plupart de ces trois mille catégories, de nouvelles mathématiques sont créées à un taux toujours croissant. L’océan s’étend, à la fois en profondeur et en largeur. »


Le dilemme d’Ulam -

« Nous employons l’expression «dilemme d’Ulam» pour la situation décrite brillamment par Stanislas Ulam dans son autobiographie, Aventures d’un mathématicien. " Dans une causerie que je fis…à Princeton, … j’ai brusquement commencé à estimer en silence dans ma tête combien de théorèmes sont publiés chaque année dans les journaux de mathématiques. J’ai fait un calcul mental et je suis arrivé à un nombre comme cent mille théorèmes par an. J’ai mentionné ceci à mon auditoire qui fut estomaqué. Le lendemain, deux jeunes mathématiciens parmi mes auditeurs vinrent me dire que, impressionnés par ce nombre énorme, ils avaient entrepris une recherche plus systématique et détaillée dans la bibliothèque de l’institut. En multipliant le nombre de journaux par la quantité de numéros par année, par le nombre d’articles par numéro et le nombre moyen de théorèmes par article, leur estimation approchait deux cents mille théorèmes par année. Si le nombre de théorèmes dépasse ce qu’il est possible d’examiner, à qui peut-on se fier pour avoir ce qui est «important» ? On ne peut avoir de survivance du plus apte s’il n’y a pas d’échange. Il est réellement impossible de suivre les progrès même des résultats les plus marquants et les plus intéressants…En mathématiques, on se trouve mariés à son petit domaine propre. À cause de cela, le jugement de valeur dans la recherche mathématique devient de plus en plus difficile, et la plupart d’entre nous deviennent principalement des techniciens. La variété des sujets sur lesquels travaillent les jeunes scientifiques croît exponentiellement… " »

« Tous les mathématiciens connaissent la situation décrite par Ulam. On ne peut voir un modèle cohérent de développement que dans la perspective étroite d’une spécialité donnée. Quels sont les problèmes dominants ? Quels sont les développements les plus récents ? Il est possible de répondre à de telles questions à l’intérieur d’une spécialité restreinte comme par exemple, " les équations aux dérivées partielles non linéaires elliptiques du second ordre ".»

« Mais poser les mêmes questions dans un contexte plus large est presque toujours inutile, pour deux raisons distinctes. Avant tout, il y a rarement une personne unique dominant les travaux récents dans plus de deux ou trois domaines. Une évaluation d’ensemble demande la synthèse des jugements de beaucoup de personnes différentes, dont certaines seront plutôt critiques, d’autres, bien disposées. Toutefois, même en l’absence de cette difficulté, même si nous avions des juges connaissant et comprenant les courants de la recherche dans toutes les mathématiques, nous rencontrerions une seconde difficulté : nous n’avons pas de critère explicite nous permettant de comparer les travaux dans des domaines bien séparés des mathématiques… Il est certain que 95% des mathématiciens professionnels sont incapables de se comprendre les uns les autres…»

« …Pouvons-nous établir des principes rationnels permettant de trier quelque 200 000 théorèmes par an ? Ou bien devons-nous simplement accepter qu’il n’est pas plus nécessaire de choisir parmi les théorèmes que parmi les espèces d’insectes. Aucun de ces points de vue n’est satisfaisant. Néanmoins, on prend des décisions tous les jours pour ce qui doit être publié et pour ce qui doit être subventionné….»

« Nous constatons que notre jugement sur ce qui est valable en mathématiques est fondé sur notre conception de la nature et du but des mathématiques elles-mêmes. »


Quel est le plafond de la production mathématique ? -

« Avec des milliards de bits d’information traités chaque seconde par les machines, et avec les 200 000 théorèmes mathématiques de la variété traditionnelle, faits à la main chaque année, il est clair que le monde est dans un âge d’or de la production mathématique. Que ce soit aussi un âge d’or pour de nouvelles idées mathématiques est une tout autre question… »

« … Il semble qu’il y ait une limite à la quantité de mathématiques vivantes que l’humanité peut soutenir à tout moment … »

« Jusqu’ici, l’expérience semble nous montrer qu’il y a deux sources inépuisables de nouvelles questions mathématiques. L’une de ces sources est le développement de la science et de la technologie. L’autre source provient des mathématiques elles-mêmes. Au fur et à mesure qu’il devient plus élaboré et plus complexe, chaque résultat nouveau et achevé devient le point de départ potentiel pour diverses recherches nouvelles. Des spécialités mathématiques apparemment non reliées posent un défi implicite : trouver une connexion féconde entre elles. »

« Bien que l’on doive s’attendre à ce que chaque domaine particulier des mathématiques vienne à être épuisé, et bien que la croissance exponentielle dans la production mathématique ne peut manquer de se calmer tôt ou tard, il est difficile de prévoir une fin pour toute la production mathématique, sinon dans le contexte d’une fin de la lutte générale de l’humanité pour davantage de savoir et davantage de pouvoir. Une telle fin peut en effet se produire un jour ou l’autre. Que cette fin soit un triomphe ou une tragédie, cela se trouve loin au-delà de tout horizon visible à présent. »

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(1) Philip Davis

http://en.wikipedia.org/wiki/Philip_J._Davis

(2) Reuben Hersh

http://en.wikipedia.org/wiki/Reuben_Hersh

(3) L'Univers mathématique, par Philip J. Davis et Reuben Hersh, Bordas, Paris, 1985, 406 pages.

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Dernière mise à jour: 12 février 2009

Extension du blog Le coin de Pierre

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Vous pourrez y lire sous peu des articles didactiques et/ou de vulgarisation basés sur notre expertise propre ou trouvés sur le Web.

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Bien cordialement,

Dr. Pierre Montès
1er février 2009