Probabilités pour ingénieurs et pour presque tous les non mathématiciens (1.5)

Chapitre 1.- Quelques notions de base

1. Introduction
2. Définition de quelques termes reliés aux ensembles et aux probabilités
3. La probabilité d'un événement et sa détermination
4. L'espace échantillonnal fini et son dénombrement
5. Les probabilités conditionnelles
6. Les expériences statistiquement indépendantes et les événements indépendants
7. La partition de l'espace échantillonnal, la loi de probabilité totale et le théorème de Bayes
   
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   LEÇON 1.5 - Les probabilités conditionnelles
   
   Dans cette cinquième leçon le lecteur apprendra les notions suivantes:
   

1. Probabilité conditionnelle d’un événement.
2. Propriétés de la probabilité conditionnelle.
   
   

1.5.1 Probabilité conditionnelle d’un événement.

Si l’on dispose d’une information a priori sur le résultat d’une expérience aléatoire, cette information peut souvent changer la probabilité de ce résultat.
Les probabilités conditionnelles tiennent compte des changements qui résultent d’informations antérieures.

Une probabilité conditionnelle est la probabilité d’un événement, étant donné qu’un autre événement a déjà lieu.

Toutes les probabilités considérées dans la leçon 3 étaient associées à l’espace échantillonnal S dans son ensemble. Au lieu de noter P(A), la probabilité d’un événement A donné, on aurait pu écrire P(A\S) qui se lit : «probabilité de A par rapport à l’espace échantillonnal S».

Dans cette leçon, on va trouver la probabilité d’événements d’un sous ensemble quelconque de l’espace échantillonnal S.

La probabilité conditionnelle de l’événement A, étant donné la réalisation de l’événement B, se note P(A\B).


Espace échantillonnal réduit.-

On définit l’espace échantillonnal réduit comme étant l’espace formé de tous les sous-ensembles de S qui appartiennent à B, un événement dont la réalisation est supposée (a priori).

La figure suivante illustre la situation.

Définition de la probabilité conditionnelle.-

La probabilité conditionnelle de l’événement A étant donné la réalisation de l’événement B se définit comme suit :
P(A\B) = P(A ∩ B)/P(B), si P(B) ≠ 0 (éq. 1.5.1)


1.5.2 Propriétés de la probabilité conditionnelle.

La probabilité conditionnelle a les propriétés requises d’une probabilité, à savoir :
1. 0 ≤ P(A\B) ≤ 1.
2. P(S\B) = 1.
3. P( (A1\B) U (A2\B) U … U (Ak\B) ) = ∑ P(Ai\B), i entier allant de 1 à k, si Ai ∩ Aj = Ø, i ≠ j.
4. Pour une suite A1, A2, A3, … dénombrable d’événements disjoints, on a :
P( (A1\B) U (A2\B) U (A3\B) U … ) = ∑ P(Ai\B), i entier allant de 1 à ∞.



Règle de multiplication.-

On peut écrire:
P(A ∩ B) = P(B) . P(A\B), P(B) > 0 (éq. 1.5.2 a)
P(A ∩ B) = P(A) . P(B\A), P(A) > 0 (éq. 1.5.2 b)


Si A et B sont mutuellement exclusifs (A ∩ B = Ø), alors P(A\B) = P(B\A) = 0. (Voir figure ci-après).




Si B inclus dans A, alors P(A\B) = 1. (Voir figure ci-après).

En effet, si B inclus dans A, alors P(A ∩ B)= P(B).
Or, P(A ∩ B) = P(B) . P(A\B)
Donc P(B) = P(B) . P(A\B)
Par conséquent,
P(A\B) = 1.



Fin de la leçon 1.5


Références utilisées

1. Hines, William W., Montgomery, Douglas C., Goldsman, David M., Borror, Connie M. (2005) Probabilités et statistique pour ingénieurs, Les Éditions de la Chenelière, 597 p., traduction de Probability and Statistics in Engineering, Fourth Edition, Wiley 2003, des mêmes auteurs et du chapitre 7 de Introduction to Statistical Quality Control, Fourth Edition, Montgomery, Douglas C., Wiley 2001.
2. Rumsey, Deborah (2006) Probability for Dummies, Wiley, 358 p.
3. Moi-même.