Probabilités pour ingénieurs et pour presque tous les non mathématiciens (1.7)

Chapitre 1.- Quelques notions de base

1. Introduction
2. Définition de quelques termes reliés aux ensembles et aux probabilités
3. La probabilité d'un événement et sa détermination
4. L'espace échantillonnal fini et son dénombrement
5. Les probabilités conditionnelles
6. Les expériences statistiquement indépendantes et les événements indépendants
7. La partition de l'espace échantillonnal, la loi de probabilité totale et le théorème de Bayes
   
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LEÇON 1.7 - Partition de l’espace échantillonnal, probabilités totales, théorème de Bayes

Dans cette septième et dernière leçon du chapitre 1 le lecteur apprendra les notions suivantes:

1. Partition de l’espace échantillonnal.
2. Théorème des probabilités totales.
3. Théorème de Bayes.
   
   
   

1.7.1 Partition de l’espace échantillonnal.

Définition.-
Si B1, B2, …, Bk sont des sous-ensembles disjoints de S (des événements mutuellement exclusifs) et si :
B1 U B2 U … U Bk = S
alors, ces ensembles forment une partition de S.
Lorsqu’on réalise l’expérience, un seul des événements, Bi, se réalise en présence d’une partition de S.

La figure suivante illustre une partition de S.

Étant donné la partition de S ci-dessus, si A désigne un événement arbitraire dans S comme le montre la figure ci-dessus, on peut toujours écrire :
A = (A ∩ B1) U (A ∩ B2) U … U (A ∩ Bk)
Comme les événements (A ∩ Bi) sont mutuellement exclusifs par paire (voir figure précédente où k = 4), on a :
P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + … + P(A ∩ Bk) (éq. 1.7.1)


1.7.2 Théorème des probabilités totales.
Si B1, B2, …, Bk forment une partition de S et si A est un événement quelconque dans S, alors la probabilité totale de A s’écrit:
P(A) = P(B1) . P(A\B1) + P(B2) . P(A\B2) + … + P(Bk) . P(A\Bk)
Ou:
P(A) = ∑ (P(Bi) . P(A\Bi)) , i entier allant de 1 à k (éq. 1.7.2)


Preuve.-

La preuve est évidente. Il suffit de porter (éq. 1.5.2 a) dans (éq. 1.7.1) :
P(A) = P(B1) . P(A\B1) + P(B2) . P(A\B2) + … + P(Bk) . P(A\Bk)
ou, en écriture condensée:
P(A) = ∑ ( P(Bi) . P(A\Bi)), i entier allant de 1 à k
Ce théorème est très utile. Si l’on sait que les Bi sont réalisés, alors on peut évaluer les probabilités conditionnelles P(ABi) et ainsi déterminer P(A), une fois que l’on connaît les probabilités P(Bi).


1.7.3 Théorème de Bayes.

Si B1, B2, …, Bk forment une partition de S et si A est un événement arbitraire dans S, alors, pour r = 1, 2, …, k, on a :
P(Br\A) = P(Br) . P(A\Br) / ∑ (P(Bi) . P(A\Bi)), i entier allant de 1 à k


Preuve.-

Selon la définition reliée à (éq. 1.5.1), on écrit :
P(Br\A) = P(Br ∩ A)/P(A) (a)
Selon la règle de multiplication, (éq. 1.5.2), on a:
P(Br ∩ A) = P(Br) . P(A\Br) (b)
On porte (b) et (éq. 1.7.2) au numérateur et au dénominateur respectivement du second membre de (a).
D’où :
P(Br\A) = P(Br) . P(A\Br) / ∑ (P(Bi) . P(A\Bi), i entier allant de 1 à k
C.Q.F.D.

Remarque.-
Dans la résolution des problèmes dans lesquelles les théorèmes de probabilité totale et de Bayes doivent être appliqués, on aura intérêt à faire un croquis clair montrant le diagramme de Venn de la partition de S et de l’événement étudié; de plus et surtout, un diagramme en arbre permettra d’appliquer aisément la règle de Bayes au problème étudié.
Le diagramme de Venn sera souvent présenté sous une forme ressemblant au croquis suivant:



L'utilisation du diagramme de Venn et du diagramme en arbre sera illustrée dans un exemple.

Fin de la Leçon 1.7


Références utilisées

1. Hines, William W., Montgomery, Douglas C., Goldsman, David M., Borror, Connie M. (2005) Probabilités et statistique pour ingénieurs, Les Éditions de la Chenelière, 597 p., traduction de Probability and Statistics in Engineering, Fourth Edition, Wiley 2003 des mêmes auteurs et du chapitre 7 de Introduction to Statistical Quality Control, Fourth Edition, Montgomery, Douglas C., Wiley 2001.
2. Rumsey, Deborah (2006) Probability for Dummies, Wiley, 358 p.
3. Moi-même.
   

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Note.- Avec la leçon 1.7 prend fin le chapitre 1. On proposera sous peu un certain nombre d'exercices sur les 7 leçons du chapitre 1.