Comment convertir en pourcentage le nombre de voix obtenu par chaque candidat au premier tour des élections sénatoriales du 9 août 2015 ?

Dernière mise à jour: 10 septembre 2015

NDCDP-Mathématiques appliquées.- 

LCDP-Mathématiques appliquées publie une analyse produite par le Dr. Pierre Montès pour répondre à une question à lui posée par Monsieur Jean-Junior Joseph sur FaceBook le lundi 24 août 2015 à  7h58 AM. Il en prend connaissance vers  8h10 - 8h20 AM et débute timidement sa réflexion sur le sujet en question à partir de 8h30. 

En analysant la méthode de calcul des pourcentages publiée sur le site Web du CEP pour le premier tour des élections sénatoriales, le Dr. Montès a découvert que la formule proposée est erronée, et, vers 9h30 AM, il avait identifié mentalement la formule adéquate (exacte) répondant à la question posée. Mais il y avait une donnée manquante: le dénominateur de la fraction devant  fournir les bons pourcentages. En effet, le CEP n'a pas publié le nombre total de bulletins valides dans chaque département pour les élections sénatoriales du 9 août 2015. Cette statistique était fournie pour les députés par le nombre de votes valides par  département (1 bulletin député = 1 vote député). En supposant que chaque électeur reçoit, au moment de voter deux bulletins de vote simultanément, l'un pour le choix d'un député et l'autre pour le choix de deux sénateurs, il est permis de supposer que les deux sommes de bulletins observées au dépouillement ne présenteraient pas de différence significative. 

En se basant sur cette hypothèse de travail, le Dr. Montès introduisit au dénominateur de la formule exacte du calcul du pourcentage du vote de chaque sénateur, le nombre total de votes valides pour les députés dans un département donné.  Dès 10h00 AM, les premiers résultats étaient déjà obtenus et comparés aux résultats correspondants de la méthode du CEP et de la méthode de Youri. Fut immédiatement transmise à Monsieur Joseph par message FB, l'estimation du pourcentage obtenu pour un sénateur qui arrivait en tête dans son département: l'Ouest.

Le Dr. Montès promit alors à Monsieur Joseph de rédiger une analyse plus détaillée au cours de la même journée. Les tableaux contenus dans l'article furent bâtis au cours de la journée et la rédaction de l'article fut ensuite faite durant la soirée.

Le document de 9 pages ainsi préparé fut transmis un peu avant minuit à Monsieur Joseph par fichier pdf, en pièce jointe à un message et le lien fut  posté sur la page FB de l'auteur le 25 août 2015 à 0h07. Le rapport a été rapidement rendu public par Monsieur Joseph sur sa page FB le 25 août 2015 à 1h48 AM et distribué sur les réseaux sociaux.  

Un autre ami internaute, Stanley Lucas, a eu l'amabilité de partager le document sur de nombreux forums. Et depuis cette nuit du 24 au 25 août 2015, le document n'a pas cessé d'être partagé par de nombreux internautes que le sujet intéresse.

Le Dr. Montès a produit ce travail pour répondre à l'appel à l'aide de Monsieur Jean-Junior Joseph, un ami FaceBook dont il apprécie honnêteté intellectuelle, la gentillesse et le dévouement à la cause haïtienne. 

Le Dr. Montès a également produit ce travail pour apporter, à sa manière, son aide à Haïti, son pays d'origine, et, pour suggérer au CEP le choix de l'une des deux voies qu'il pourrait emprunter pour  corriger d'une manière juste et équitable le problème posé par la méthodologie qu'il a utilisée dans le calcul du pourcentage du vote obtenu par chaque sénateur au premier tour du scrutin tenu le 9 août 2015. Ces suggestions sont exprimées sous la forme de deux questions posées à la fin de l'analyse que voici.

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Comment convertir en pourcentage le nombre de voix obtenu par chaque candidat au premier tour des élections sénatoriales du 9 août 2015 ?

Par Dr. Pierre Montès

24 août 2015 

Dernière mise à jour: 2 septembre 2015

C’est une question qui préoccupe les candidats et les électeurs depuis la publication, le 20 août, des résultats numériques des élections du 9 août 2015.

Trois méthodes sont analysées ci-après : la méthode du CEP, l’approximation dite de Youri Latortue, l’approximation dite de Montès.

Méthode du CEP.-

Le CEP s’est vu dans l’obligation de publier une note expliquant sa méthode de calcul. Voici en gros la méthode du CEP.

Supposons qu’il y a quatre (4) candidats A, B, C et D au Sénat dans un Département donné.

Soit N le nombre d’électeurs qui ont voté dans ce Département pour ces 4 candidats. On supposera N=1000 pour les fins de la discussion.

Supposons que chacun des électeurs vote exactement pour 2 des 4 candidats : 1 électeur, 2 voix.

Le nombre de voix pour l’ensemble de 4 candidats est : 2 N = 2000.

Le CEP désigne cette quantité par T. On a : T = 2N = 2000 voix.

Soient TA, TB, TC et TD les nombres de voix reçus par les candidats A, B, C et D respectivement. On a  l’égalité :

TA + TB + TC + TD = T = 2000 voix.

Et les pourcentages de voix obtenus par les 4 candidats sont :

A% = (TA / T) x 100%

B% = (TB / T) x 100%

C% = (TC / T) x 100%

D% = (TD / T) x 100%

Cette formule est fausse. 

Si les 1000 électeurs votent tous pour le candidat A, leur 2^e voix allant pour l’un des 3 autres candidats, on a :

TA = 1000 et T = 2 N = 2000 et A% = 50%.

Or, dans ces conditions, le candidat A aurait dû obtenir 100%, car tous les électeurs ont voté pour le candidat A. 

Dans cet exemple (A% =50%) il est donc impossible pour que le candidat A au Sénat gagne au premier tour sur la base de la majorité absolue en utilisant la formule du CEP. 

Pour que ce candidat A ait la majorité absolue (50%+1) du nombre total de voix, selon la méthode de calcul du CEP, il faudrait, par exemple, que plus des deux tiers des électeurs lui accordent une voix à lui tout seul, sans accorder leur 2e voix aux autres candidats, le tiers des électeurs moins un restants votant pour les autres candidats en lice. Il existe encore d'autres possibilités de gagner avec la méthode de calcul du CEP, mais cette méthode sous-estime le vrai pourcentage. En outre, un candidat pourrait éventuellement gagner dans le cas où il satisfaisait à la règle du 25% d'avance sur son plus proche concurrent. 

La méthode du CEP dans sa version actuelle, devrait être changée.

Méthode dite de Youri Latortue.-

Monsieur Jean-Junior Joseph m’a appris que, ce matin, le candidat au Sénat, Youri Latortue a suggéré de modifier la formule du CEP en y introduisant T/2 à la place de T. Cela revient à multiplier par deux (2) les pourcentages obtenus par la méthode du CEP.

L’approximation de Youri Latortue conduit donc aux relations suivantes:

A% = (2 x TA / T) x 100%

B% = (2 x TB / T) x 100%

C% = (2 x TC / T) x 100%

D% = (2 x TD / T) x 100%

            

Cette méthode est correcte si chacun des électeurs a voté en accordant exactement deux (2) voix à deux candidats de son choix, comme le prescrit le décret électoral. Mais on peut concevoir qu’il y ait eu aussi des électeurs ayant voté pour 1 candidat mais pas pour un 2^e, qu’il y en ait eu ayant mis leur X dans la case  correspondant à « Aucun candidat ». En d’autres termes, le nombre de voix au Sénat de chaque électeur n’est pas nécessairement égal exactement à 2: il est égal à 0, 1 ou 2. Donc 2 N n’est pas égal à T.

Si les N électeurs accordent tous indistinctement une voix au candidat A et que certains d'entre eux n'accordent pas leur 2e voix aux à aucun autre candidat, on voit que le total des votes ne sera pas égal à  2 N (T différent de 2 N).  On a alors pour le candidat A, TA = N et :

A% = (2 x N / T) x 100%  différent de 100%.

Nous avons consulté quelques-uns des 13 725 procès verbaux pour  quelques bureaux de vote dans Pétion-Ville, et nous avons relevé les couples suivants pour les élections sénatoriales :

(N sénat, T sénat) = (34, 55), (30, 50), (44, 75), (32, 58), etc.

On voit que 2 N n’est pas égal à T, mais supérieur à T. Si l’on admet qu’il en soit de même dans la plupart des 13 725 bureaux de votes, on arrive à la conclusion que la formule de Youri Latortue surestimerait la vraie valeur des pourcentages (2 N  > T).

Pour les deux raisons ci-dessus, l’approximation proposée par Youri Latortue n’est pas correcte. Cependant, elle est moins mauvaise que celle du CEP.

Méthode dite de Montès.-

En réalité, le problème ne se poserait pas si l’on utilisait le nombre d’électeurs qui ont voté au Sénat pour calculer les pourcentages. Cette méthode est en effet exacte si N est connu. C’est le nombre de bulletins de vote valides (1 électeur votant au Sénat = 1 bulletin déposé dans l’urne «Sénateur»).

Dans cette logique les pourcentages s’écrivent :

A% = (TA /N) x 100%

B% = (TB / N) x 100%

C% = (TC / N) x 100%

D% = (TD / N) x 100%

Si tous les N électeurs votent en accordant tous leur première voix au candidat A et attribuent leur deuxième voix à 0 ou 1 candidat, on aura :

A% = (N / N) x 100% = 100%.

Cette dernière méthode n’a pas les inconvénients de la deuxième méthode ni de la première méthode.

Mais pour utiliser cette dernière méthode, il faut disposer du nombre N  d’électeurs qui ont effectivement déposé un bulletin de vote pour les Sénateurs. Cette donnée correspond au nombre total de bulletins de vote valides pour l’élection au Sénat. Les informations qui auraient permis de déterminer cette donnée sont disséminées dans les 13 725 procès-verbaux des bureaux de vote disponibles sur le Web, mais elle n’est pas compilée pour chaque commune, ni pour chaque département. Il aurait été  nécessaire que cette donnée fût rendue disponible pour chaque département

Nous avons la bonne formule de calcul, mais il nous manque une donnée : le nombre de bulletins de votes valides au Sénat par département qui est égal au nombre d’électeurs qui ont voté au Sénat.

À défaut de connaître le nombre de bulletins N, par département pour le Sénat, nous faisons l’hypothèse de travail suivante :

Le nombre de votes à la députation ou le nombre d’électeurs à la députation  est égal au nombre de bulletins de vote au Sénat ou au nombre d’électeurs au Sénat.  C’est N.

On connait N pour la députation dans chaque département; cette donnée est disponible. En l’utilisant dans la formule pour calculer les pourcentages de chaque candidat au Sénat, on fait une approximation, certes, mais c’est la meilleure chose que nous puissions faire en la circonstance, en attendant d’avoir la compilation de la vraie valeur de cette variable pour les élections sénatoriales du 9 août 2015.

En consultant quelques procès-verbaux dans quelques bureaux de votes dans Pétion-Ville, j’ai trouvé ceci :

(N députation, N sénat) = (31, 34), (30, 30), (43, 44), 32, 32), etc.

C’est nettement mieux !

On utilise donc N députation à la place de N sénat pour approximer le pourcentage pour chaque candidat au sénat.

Nous prétendons que l’erreur commise soit moins grande que dans les deux premières approximations.

Application numérique.-

Nous avons calculé à l’aide des trois formules d’approximation les pourcentages pour les quatre candidats en tête dans les dix départements aux élections sénatoriales. Les résultats sont compilés dans les trois tableaux ci-dessous.

L’analyse de ces résultats permet de constater ce qui suit :

1.- Les pourcentages obtenus par la méthode d’approximation de Montès sont toujours compris entre ceux obtenus par la méthode du CEP et ceux obtenus par la méthode de Youri.

2.- Quant à la méthode du CEP, nous avons observé qu'il est difficile pour un candidat d'atteindre la majorité absolue au sénat quand elle est utilisée et ce, que ce soit avec les données des élections sénatoriales du 9 août ou avec des données de n'importe quelles autres élections sénatoriales à venir. Comme nous l'avons dit antérieurement, si plus des deux tiers des électeurs accordaient une voix à un seul et même candidat, sans accorder leur 2e voix à aucun autre candidats, et si le tiers des électeurs moins un restants votaient seulement pour les autres candidats en lice, alors, dans ces conditions, la méthode du CEP donnerait à ce candidat la majorité absolue (50%+1) du nombre total de voix.

3.  Aucun candidat n’obtient la majorité absolue pour la méthode de Montès pour les données de ces élections. Mais il est possible pour un candidat d'obtenir la majorité absolue avec la méthode de Montès pour d'autres données d'élections sénatoriales.

4.- Le candidat au sénat dans l'Artibonite, Youri Latortue, obtient, par la méthode de Montès une avance de 26,41% sur son plus proche rival. Il satisferait ainsi à la règle de 25% et serait donc élu, si le CEP adoptait la méthode exacte de calcul proposée dans cette analyse.

3.- La majorité absolue est obtenue dans quatre départements par l’approximation de Youri Latortue :

   Youri Latortue, AAA (127), Artibonite, 53,79%;
   Williot Joseph, PHTK (5), Centre , 56,37%;

   Ronald Larèche, Vérité (69), Nord-Est, 56,16%;

   Jean Renel; Sénatus, LIDE (90), 55,26%.


4.- Pour ces quatre candidats, l’approximation de Montès donne:

    Youri Latortue, AAA (127), Artibonite, 43,13%;
    Williot Joseph, PHTK (5), Centre, 41,71%;
    Ronald Larèche, Vérité (69), Nord-Est, 35,66%;
    Jean Renel Sénatus, LIDE (90), Ouest, 43,13%.

5.- Pour l'ensemble des trois séries de pourcentages calculées, la moyenne des deux premières (méthode du CEP et méthode Youri) est proche de l'approximation de Montès: cette moyenne est tantôt à gauche, tantôt à droite de l'approximation de Montès.

Conclusion.-

Pour que la méthode de Montès fournisse le pourcentage exact pour chaque candidat, il faut y entrer le bon dénominateur: le nombre de bulletins de votes valides aux élections sénatoriales. Si cette information n'est pas disponible, et si l'on utilise à sa place le nombre de bulletins valides aux élections des députés, sous l'hypothèse que ces deux quantités soient à peu près égales dans le cas des élections du 9 août 2015, alors le pourcentage obtenu est une approximation de la vraie valeur. Nous pensons qu'il y a de fortes chances que cette approximation soit plus proche de la vraie valeur inconnue que ne le sont les approximations par la méthode du CEP et la méthode de Youri.
  

Est-il possible pour le CEP de faire tabuler le nombre de bulletins valides par département pour le premier tour des élections sénatoriales ? L’utilisation de ces données dans la troisième formule (méthode de Montès) permettrait d’obtenir un pourcentage exact pour chacun des candidats. Si l’obtention de ces données n’était pas possible pour le premier tour, le CEP pourrait-il choisir au hasard un échantillon représentatif des 13 725 procès-verbaux pour valider ou bien rejeter l’hypothèse de travail qui permet l'application de la méthode proposée quand le nombre total de bulletins valides (dont les composantes sont disponibles dans les procès-verbaux des bureaux de vote, mais non cumulées) dans l'élection sénatoriale  est approximé par le nombre de bulletins (nombre de votes) dans l'élection des députés pour l'ensemble des circonscriptions constituant chacun des départements ?    

Remarque.- La méthode de calcul du CEP pour la députation ne présente aucun problème : elle est correcte. 

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Tableau PM1 – Élections au Sénat – Résultats du Calcul du Pourcentage du vote pour les quatre premiers candidats dans les départements Artibonite, Centre et Grand-Anse selon les trois méthodes: la formule erronée du CEP, la formule exacte de Montès (1) et l’approximation  de Youri. (Premier tour 9 août 2015).

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(1) Les valeurs calculées sont une approximation pour les raisons expliquées le document.

Tableau PM2 – Élections au Sénat – Résultats du Calcul du Pourcentage du vote pour les quatre premiers candidats dans les départements Nippes, Nord et Nord-Est selon trois méthodes: la formule erronée du CEP, la formule exacte de Montès (1) et l’approximation de Youri. (Premier tour 9 août 2015).
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(1) Les valeurs calculées par sont une approximation pour les raisons expliquées le document.

Tableau PM3 – Élections au Sénat – Résultats du Calcul du Pourcentage du vote pour les quatre premiers candidats dans les départements Nord-Ouest, Ouest, Sud et Sud-Est  selon les trois méthodes: la formule erronée du CEP, la formule exacte (1) de Montès et l’approximation de Youri. (Premier tour 9 août 2015).

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(1) Les valeurs calculées sont une approximation pour les raisons expliquées le document.

Fin de l'article.